Andrew算法求二维凸包-学习笔记

凸包的概念

首先，引入凸包的概念：

（有点窄的时候...图片右边可能会被吞，拉开图片看就可以了）

大概长这个样子：

那么，给定一些散点，如何快速地求出凸包呢（用在凸包上的点来表示凸包）

Andrew算法流程和思想

常见的求凸包的算法有 $Graham$ 和 $Andrew$ ， $Andrew$ 是 $Graham$ 扫描算法的变种，和 $Graham$ 相比， $Andrew$ 更快，且更稳定，所以主要讲一下 $Andrew$ 。

首先把所有点以 $x$ 坐标为第一关键字， $y$ 坐标为第二关键字从小到大进行排序，可以肯定第一个点和最后一个点在答案中。

接下来用以下的例子来帮助理解算法流程：

第一次，把 $1$ 和 $2$ 加入答案中

尝试把 $3$ 加进去，发现凹进去了，所以把 $2$ 丢掉，把 $3$ 放进去

我们来看看 $2$ 被丢掉， $3$ 成功上位的原因（凹进去的原因）：
发现是斜率（或者...可以总结成叉积？

在下图中 $1->2$ 的斜率大于 $1->3$ 的斜率，又因为之前按 $x$ 递增排序，所以可以说明 $2$ 在 $3$ 的左上，所以是凹进去的。

换句话说，如果加进去这个点（即当前点，记为 $i$ ）和 $i-2$ 号点的斜率小于 $i$ 号点和 $i-1$ 号点的斜率，那么就要把 $i-1$ 号点去掉并加入 $i$ 号点来维护凸包的性质（不让它凹进去）

接下来加入 $4$ ， $1->4$ 斜率大于 $1->3$ 斜率，所以 $3$ 不用被丢掉。

加入 $5$ ， $3->5$ 斜率小于 $3->4$ 斜率，所以丢掉 $4$ ，加入 $5$

加入 $6$ ，一样的理由，一样的操作。（ $3->6$ 斜率小于 $3->5$ 斜率，丢掉 $5$ ，加入 $6$ ）

然后发现 $3$ 那个地方也凹进去了（ $1->6$ 的斜率小于 $1->3$ 的斜率）

所以 $3$ 也要被丢掉，然后只剩下两个点：

（所以写代码的时候要用 $while$ ）

接着来，加入 $7$ :

然后是 $8$ ，发现...斜率只小一点点（图没画好，这***钻的角度，将就看一下吧...），所以 $7$ 要删掉

不过也顺便解决一个共线的问题，共线嘛，很好解决，反正两个点都在凸包上，都不丢就可以了，后面如果那一条线不属于凸包的话，用 $while$ 丢点的时候两个点斜率是一样的，总会被丢出去的。

然后是 $9$ ，发现斜率小，所以丢掉 $8$ ：

啊哈，然后发现所有点都已经遍历完了，成功达到了 $9$ ，可是凸包还有一半呢。

倒着再来一次就可以求出上面那个盖盖了：

（下面放流程图，不一一解说了（好累），操作是一样的）

（把 $7$ 悄悄地挪了一下位置）

（丢掉 $6$ ，发现斜率的关系和正着的那一次都一样，都是小于）

这样，凸包就求出来啦！

按照以上的思路写代码就可以啦。

例题& 板子

例题：求凸包的周长：

 1 /*
 2 ID: Starry21
 3 LANG: C++
 4 TASK: fc          
 5 */ 
 6 #include<cstdio>
 7 #include<algorithm>
 8 #include<vector>
 9 #include<cstring>
10 #include<queue>
11 #include<map>
12 #include<iostream>
13 #include<cmath>
14 using namespace std;
15 #define ll long long
16 #define INF 0x3f3f3f3f
17 #define N 10005
18 struct node{
19     double x,y;
20 };
21 node p[N],s[N]/*凸包上的点*/;
22 int n;
23 double dis(node a,node b)
24 {
25     return sqrt(((a.x-b.x)*(a.x-b.x))+((a.y-b.y)*(a.y-b.y)));
26 }
27 bool cmp(node a,node b)
28 {
29     if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
30     return a.x<b.x;
31 }
32 double getk(node a,node b)
33 {
34     if(a.x==b.x) return INF;//在一条竖线上 斜率看成无限大 
35     return (b.y-a.y)/(b.x-a.x);
36 }
37 double Andrew()
38 {
39     sort(p+1,p+n+1,cmp);
40     int cnt=0,tot=0;
41     double sum=0.0;
42     for(int i=1;i<=n;i++)
43     {
44         s[++cnt]=p[i];
45         while(cnt>=3&&getk(s[cnt-2],s[cnt])<getk(s[cnt-2],s[cnt-1]))
46             s[cnt-1]=s[cnt],cnt--;
47     }
48     for(int i=1;i<=cnt-1;i++)
49         sum+=dis(s[i],s[i+1]);
50     tot=cnt;
51     cnt=0;
52     for(int i=n;i>=1;i--)
53     {
54         s[++cnt]=p[i];
55         while(cnt>=3&&getk(s[cnt-2],s[cnt])<getk(s[cnt-2],s[cnt-1]))
56             s[cnt-1]=s[cnt],cnt--;
57     }
58     for(int i=1;i<=cnt-1;i++)
59         sum+=dis(s[i],s[i+1]);
60     tot+=cnt;
61     tot-=2;//tot是凸包上点的个数 
62     //printf("%d\n",tot); 
63     return sum;
64 }
65 int main() 
66 {
67     //freopen("fc.in","r",stdin);
68     //freopen("fc.out","w",stdout);
69     scanf("%d",&n);
70     for(int i=1;i<=n;i++)
71         scanf("%lf %lf",&p[i].x,&p[i].y);
72     printf("%.2lf\n",Andrew());
73     return 0;
74 }

Code

还有一个用叉积写的，原理都是一样的，不过我自己不是很喜欢这种写法：

 1 /*
 2 ID: Starry21
 3 LANG: C++
 4 TASK: shuttle           
 5 */ 
 6 #include<cstdio>
 7 #include<algorithm>
 8 #include<vector>
 9 #include<cstring>
10 #include<queue>
11 #include<map>
12 #include<iostream>
13 #include<cmath>
14 using namespace std;
15 #define ll long long
16 #define INF 0x3f3f3f3f
17 #define N 10005
18 struct node{
19     double x,y;
20 };
21 node p[N],s[N]/*凸包上的点*/;
22 int n;
23 double dis(node a,node b)
24 {
25     return sqrt(((a.x-b.x)*(a.x-b.x))+((a.y-b.y)*(a.y-b.y)));
26 }
27 bool cmp(node a,node b)
28 {
29     if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
30     return a.x<b.x;
31 }
32 bool Cross(node a,node b,node c)
33 {
34     double x1=a.x-b.x,y1=a.y-b.y;
35     double x2=c.x-b.x,y2=c.y-b.y;
36     if((x1*y2-x2*y1)<=0) return 0;
37     //如果不希望在凸包的边上有输入点。把<=改成<
38     return 1;
39 }
40 int Andrew()
41 {
42     sort(p+1,p+n+1,cmp);
43     int num=0;
44     for(int i=1;i<=n;i++)
45     {
46         while(num>1&&!Cross(s[num-1],s[num-2],p[i]))
47             num--;
48         s[num++]=p[i];
49     }
50     int tmp=num;
51     for(int i=n-1;i>=1;i--)
52     {
53         while(num>tmp&&!Cross(s[num-1],s[num-2],p[i]))
54             num--;
55         s[num++]=p[i];
56     }
57     if(n>1) num--;
58     return num; 
59 }
60 int main() 
61 {
62     //freopen("shuttle.in","r",stdin);
63     //freopen("shuttle.out","w",stdout);
64     scanf("%d",&n);
65     for(int i=1;i<=n;i++)
66         scanf("%lf %lf",&p[i].x,&p[i].y);
67     int num=Andrew();
68     double sum=0;
69     for(int i=1;i<=num-1;i++)
70         sum+=dis(s[i],s[i+1]);
71     sum+=dis(s[num],s[1]);//还有第n个点到第1个点的距离
72     printf("%.2lf",sum);
73     return 0;
74 }