最小割的一些小技巧（实用小干货）

求最小边的最小割

设总边数为$E$，跑最大流之前所有的边权都乘$E+1$然后再$+1$

得到的结果应该是$mincut*(E+1)+$割边数量（这个比较显然吧）

由于割边数越小，跑出来结果越小，所以就自动选了割边数量小的边（但相同不能保证字典序）

结果$%(E+1)$就是最小边数

$E+1$也可以替换成大于边数的数。

 

输出任意一种最小割的方案

跑过一次最大流之后，在残量网络上，s和t之间不连通了
进行一次$dfs/bfs$，求出从$s$出发能到达的点集$S$，和不能到达的点集$T$
所有从S跨越到T的满流边（残留网络为0）构成了一组最小割

 

判断一条边是否满流

运行一次最大流算法，得到一个残量网络
取残量网络上的一条满流边(u, v)，判断这条边是否一定满流
对残量网络运行Tarjan算法，求出所有SCC
当u和v不属于同一个SCC的时候，这条边一定满流
否则，我们可以在SCC中找到一个包含这条边的反向边的环，沿着环增广一次，仍然不破坏流量平衡，但是这条边已经不满流了

 

判断某一条边是否可能为最小割中的一条

所有一定满流的边都可能为最小割

 

判断某条边是否一定出现在最小割中

首先还是对残量网络求SCC
考虑一条满流边(u, v)，判断她是否一定出现在最小割中
当u和s属于同一个SCC，并且v和t属于同一个SCC的时候，这条边一定出现在最小割中