POJ3585 Accumulation Degree【换根dp】

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题意

给出一棵树，树上的边都有容量，在树上任意选一个点作为根，使得往外流（到叶节点，叶节点可以接受无限多的流量）的流量最大。

分析

首先，还是从1号点工具人开始 $dfs$ ，可以求出 $dp[i]$ 为点 $i$ 向它的子树中可以获得的最大流量。

接下来考虑换根，设 $f[i]$ 是以 $i$ 为根节点的答案（向它的所有根节点能够发射的最大流量之和）

考虑把根从 $u$ 换到 $v$ ， $v$ 自己子树内的答案 $dp[v]$ 肯定是在 $f[v]$ 之内的

经过了 $u-v$ 这条边的答案就是 $min(f[u]-min(w,dp[v]),w)$

加起来就是 $f[v]=dp[v]+min(f[u]-min(w,dp[v]),w)$

理解一下： $f[u]-min(w,dp[v])$ 是减去红圈里的贡献，也就是 $u$ 不往 $v$ 里面流也产生的答案。要取 $min(w,dp[v])$ 是因为 $u$ 真正能流进 $v$ 子树里的流量还要受到 $w$ 的限制

相同地，把 $v$ 当做根之后往 $u$ 方向流的流量也会受到 $w$ 的限制，所以也要取 $min$ 。

另外，特别地，还有这种情况：

（这种情况真的好难想到的说）

这种情况的话，答案就直接是 $f[v]=dp[v]+w$

然而用上面的式子的话， $f[u]-min(w,dp[v])=0$ ，变成 $f[v]=dp[v]$ ，是不成立的。所以需要特判一下。

然后就做

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<vector>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 #define N 200005
 7 #define ll long long
 8 #define INF 0x3f3f3f3f
 9 int n,ans;
10 int dp[N],f[N];
11 vector<pair<int,int> >G[N];
12 int rd()
13 {
14     int f=1,x=0;char c=getchar();
15     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
16     while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
17     return f*x;
18 }
19 void dfs(int u,int p)
20 {
21     int tmp=0;
22     for(int i=0;i<G[u].size();i++)
23     {
24         int v=G[u][i].first,w=G[u][i].second;
25         if(v==p) continue;
26         dfs(v,u);
27         tmp+=min(dp[v],w);
28     }
29     if(tmp) dp[u]=tmp;
30     return ;
31 }
32 void dfs2(int u,int p)
33 {
34     ans=max(ans,f[u]);
35     for(int i=0;i<G[u].size();i++)
36     {
37         int v=G[u][i].first,w=G[u][i].second;
38         if(v==p) continue;
39         if(G[u].size()==1)
40         {
41             f[v]=dp[v]+w;
42             dfs2(v,u);
43         }
44         else
45         {
46             f[v]=dp[v]+min(w,f[u]-min(w,dp[v]));
47             dfs2(v,u);
48         }
49     }
50 }
51 int main() 
52 {
53     int T=rd();
54     while(T--)
55     {
56         n=rd();
57         if(n==0)
58         {//特判 
59             puts("0");
60             continue;
61         }
62         ans=0;
63         memset(dp,INF,sizeof(dp));
64         for(int i=1;i<=n;i++)
65             G[i].clear();
66         for(int i=1;i<n;i++)
67         {
68             int u=rd(),v=rd(),w=rd();
69             G[u].push_back(make_pair(v,w));
70             G[v].push_back(make_pair(u,w));
71         }
72         dfs(1,-1);
73         for(int i=1;i<=n;i++)
74             if(dp[i]==INF)
75                 dp[i]=0;//叶节点
76         f[1]=dp[1];
77         dfs2(1,-1);
78         printf("%d\n",ans); 
79     }
80 }