POJ3585 Accumulation Degree【换根dp】

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题意

给出一棵树，树上的边都有容量，在树上任意选一个点作为根，使得往外流（到叶节点，叶节点可以接受无限多的流量）的流量最大。

分析

首先，还是从1号点工具人开始$dfs$，可以求出$dp[i]$为点$i$向它的子树中可以获得的最大流量。

接下来考虑换根，设$f[i]$是以$i$为根节点的答案（向它的所有根节点能够发射的最大流量之和）

 

考虑把根从$u$换到$v$，$v$自己子树内的答案$dp[v]$肯定是在$f[v]$之内的

经过了$u-v$这条边的答案就是$min(f[u]-min(w,dp[v]),w)$

加起来就是$f[v]=dp[v]+min(f[u]-min(w,dp[v]),w)$

理解一下：$f[u]-min(w,dp[v])$是减去红圈里的贡献，也就是$u$不往$v$里面流也产生的答案。要取$min(w,dp[v])$是因为$u$真正能流进$v$子树里的流量还要受到$w$的限制

相同地，把$v$当做根之后往$u$方向流的流量也会受到$w$的限制，所以也要取$min$。

 

另外，特别地，还有这种情况：

 

 

（这种情况真的好难想到的说）

这种情况的话，答案就直接是$f[v]=dp[v]+w$

然而用上面的式子的话，$f[u]-min(w,dp[v])=0$，变成$f[v]=dp[v]$，是不成立的。所以需要特判一下。

然后就做

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 200005
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
int n,ans;
int dp[N],f[N];
vector<pair<int,int> >G[N];
int rd()
{
    int f=1,x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
    return f*x;
}
void dfs(int u,int p)
{
    int tmp=0;
    for(int i=0;i<G[u].size();i++)
    {
        int v=G[u][i].first,w=G[u][i].second;
        if(v==p) continue;
        dfs(v,u);
        tmp+=min(dp[v],w);
    }
    if(tmp) dp[u]=tmp;
    return ;
}
void dfs2(int u,int p)
{
    ans=max(ans,f[u]);
    for(int i=0;i<G[u].size();i++)
    {
        int v=G[u][i].first,w=G[u][i].second;
        if(v==p) continue;
        if(G[u].size()==1)
        {
            f[v]=dp[v]+w;
            dfs2(v,u);
        }
        else
        {
            f[v]=dp[v]+min(w,f[u]-min(w,dp[v]));
            dfs2(v,u);
        }
    }
}
int main() 
{
    int T=rd();
    while(T--)
    {
        n=rd();
        if(n==0)
        {//特判 
            puts("0");
            continue;
        }
        ans=0;
        memset(dp,INF,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            G[i].clear();
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            int u=rd(),v=rd(),w=rd();
            G[u].push_back(make_pair(v,w));
            G[v].push_back(make_pair(u,w));
        }
        dfs(1,-1);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(dp[i]==INF)
                dp[i]=0;//叶节点
        f[1]=dp[1];
        dfs2(1,-1);
        printf("%d\n",ans); 
    }
}

 

完啦。