NOIp D1T1 小凯的疑惑

吐槽

果然让人很疑惑，这道题，对于我这种数学渣渣来说太不友好了，哪里想得到结论，猜也猜不到。

思路一

纯数学，见过的飞快切掉，没见过的就...

结论就是：已知 $a,b$ 为大于 $1$ 的互质的正整数，则使不定方程 $ax+by=c$ 不存在非负整数解的最大整数
好像是叫什么赛瓦维斯特定理，但是除了这道题的题解之外，我没有在其它任何地方搜到，跟数学相关的痕迹一点都没有，太神奇了，难道这是一个只有 $OIer$ 才研究的公式
证明一下吧。
首先，先证 $ax+by=ab−a−b（a,b>1,(a,b)=1）$ 不存在非负整数解。
用反证法，假设存在 $x>=0,y>=0$ ，使得 $ax+by=ab−a−b（a,b>1,(a,b)=1）$ 成立。

移项，得 $a*(x+1)+b*(y+1)=a*b$

$a*(x+1)=b*(a-y-1)$
又因为 $(a,b)=1$
则 $b\mid (x+1)$

同理可证： $a|(y+1)$
又因为 $x>=0,y>=0$

所以 $x>=b,y>=a$
则 $a*(x+1)+b*(y+1)>=ab+ba>=2ab$

因为 $a>1,b>1$

所以 $ab>1$

所以 $2ab>a$

与之前假设的 $a*(x+1)+b*(y+1)=a*b$ 矛盾，所以假设不成立。

接下来，需要证明 $ax+by=c$ $(a,b>1,(a,b)=1)$ 中，对于所有的 $c>ab-a-b$ ，方程都存在非负整数解

设 $c=ka+m-a-b(k>=b,a<=m<=a-1)$ ,即 $ax+by=ka+m-a-b(k>=b,1<=m<=a-1)$

因为 $(a,b)=1$ ，根据裴蜀定理，可知存在 $x_0,y_0∈Z$ ，使 $ax_0+by_0=1$

所以存在 $x_0,y_0∈Z$ ，使 $ax_0+by_0=m$

$y_0=(m-ax_0)/b$ ，对于 $m%b$ 的不同，有 $b-1$ 种 $x_0$ 的取值，使得 $y_0$ 是整数

我们令 $-(b-1)<=x_0<=-1$ ，以此来先保证 $y_0>=0$

由于 $-ax_0>1,m>=1$ ，所以事实上 $y_0>=1$

于是取 $y=y_0-1$ ，则 $y>=0$

则 $x_0=(m-by_0)/a$ ,

$x=(ka+m-a-b-by)/a=k-1+(m-b-by)/a=k-1+(m-b-b(y0-1))/a=k-1+(m-by_0)/a=k-1+x_0$

又因为 $-(b-1)<=x_0<=-1$ ,则 $-(b-1)+k-1<=x<=-1+k-1$ , $-b+k<=x<=k-2$

又因为 $k>=b$ ，则 $-b+k>=0$ ，则 $x>=0$

得证。

$a=2,b=3,ans=1$

$a=2,b=5,ans=3$

$a=2,b=7,ans=5$

$a=3,b=5,ans=7$

$a=3,b=7,ans=11$

$a=5,b=7,ans=23$

$a=5,b=11,ans=39$

这就要看运气了

Update:看到一份很精妙的题解来源及作者见图片

代码

说实话，这道题不贴代码都可以qwq

 1 #include<iostream>
 2 #include<string>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 #include<queue>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<vector>
 8 using namespace std;
 9 #define N 255
10 #define ll long long 
11 #define INF 0x3f3f3f3f
12 ll a,b;
13 int main()
14 {
15     scanf("%lld %lld",&a,&b);
16     printf("%lld\n",a*b-a-b);
17     return 0;
18 }