期望和组合问题 题目总结
做数数题（学霸题）的一般思路：（jzp：）
计数题其实可以看做是一类dp问题，只是由于一些状态之间没有关联就成了组合数学题。
计数题可以分为两类：计数dp和组合数学，不过都可以统一为dp。
计数题的基本思路就在于分类和分步。如果直接计算出方案是很难的，但是我们可以把一种方案分为几个部分，如果几类之间没有互相关联，则可以用乘法原理乘起来，如果有牵连就表明直接乘会算重，即：有后效性
和dp类似，我们可以通过多加状态使得其没有后效性。
因此，做计数题分好类是最关键的一步。如果一下子分不出来，就考虑分细一点，直到可以直接知道一类中有多少元素为止，例如分到刚好一种方案就是最细的分类。
但是分类多时间空间就不够，我们就要考虑把类变大一点但仍然需要直接算出来，就可能变成组合数之类的了。
所以本质上还是dp问题，只不过更加新，变化多端。
通常计数题会有很多的限制，我们一般要考虑限制最多的那一个，再在限制多的已经满足的时候考虑限制少的，这样能够降低思维难度和时空复杂度。
刷爆数学
CF1515E Phoenix and Computers
梦想从这里开始。
一开始我想的区间dp，结果怎么都过不了样例，最后发现由于操作之间有顺序关系，如果要强行dp还得记录当前区间进行的操作数量。
不过写区间dp的时候我们也可以发现，只要区间的长度相同dp值就是相同的。因此我们可以转化为对长度进行dp。
设f(i,k)为长度为i的段全部开启，使用了k次操作机会的方案数。显然\(f(i,i)=2^{i-1}\)
来自https://www.luogu.com.cn/blog/Social-Zhao/solution-cf1515e
然后我们枚举第一个自动开启的位置，左边就全是选满的，这样会很好转移，如果枚举最后一个操作的位置，那么我们完全不知道左右两边的操作次数。
类似地，我们需要去重，因此钦定第一次操作在左边，那么就可以转移。
CF869C The Intriguing Obsession
考虑A往B，A往C，B往C连边。
那么我们只需要枚举连多少条边，然后固定A的顺序，任意排列B的位置。注意这里手玩一下不是AB都要全排列否则会算重！
CF1525E Assimilation IV
期望。
利用线性性，考虑每一个点被点亮的概率之和就是期望。
计算被点亮的概率很难，计算不被点亮的概率比较简单，一种顺序就是一个排列，枚举每一个时间点的选择都不会使他被点亮即可，乘法原理计算。
CF1499E Chaotic Merge
另一类计数dp，我们在dp值中记录所有的合法状态的和，之前的一道模拟赛题和这个很像（无穷二叉树上面走）注意这里用f(i,j,0/1,s)更新其他状态即可。
CF1194F Crossword Expert
期望的线性性。利用单调性计算式子
这里有一个组合数的前缀和，看到这里再推一下！
CF840C On the Bench
\(ab=x^2,ac=y^2->bc=(\frac{xy}{a})^2\)
所以全是团。
P3223 [HNOI2012]排队
分类！！！
考虑直接分为男 女 老师 互相的牵连还是很多，无法做到转移。
分细一点，我们讨论老师的限制在第一次的两个组合中是否满足即可。
先排男的，否则后面插不了空，再排老师：
如果现在满足条件，即被男分开，就是\(A_{n+1}^2\)，下一次再插一空即可。
如果不满足条件，相当于捆绑两个老师，就是\(2(n+1)\)（老师相对顺序乘2），下一次两个老师中间必须插一个女生，先分配一个女生插进去，然后捆绑三个人，继续插空法即可
相当于分为了老师中间有男生和无男生两大类再分几小类。
P5520 [yLOI2019] 青原樱
考虑捆绑法，一棵树苗右边捆绑一个空，最后一颗树苗不捆绑，然后直接排列数。这里不能乘逆元，但是我们可以用简单的O(n)求组合数
CF571A Lengthening Sticks
先分类，首先可以分类每一个是最长的木棍时的方案数。最后要加起来。
然后考虑正难则反，计算a+b<=c的方案数，直接求和就好。
总方案数怎么计算？当然是枚举加了多少然后隔板法，注意这里可以不加。再次注意隔板法是互不相同的几个元素！
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