2021.10.18 模拟赛总结

裂开。。。

T1

求逆元见 https://www.cnblogs.com/lytql/p/15021752.html

然后我们考虑期望的线性性，求出每一个点都期望答案的贡献。

一个点被选中的概率其实只和第一个点$A_1$和当前点$A_x$有关，和其它的$A$无关。

我想到一种绝妙的理解方法！

我们只考虑在某一次选择的时候，第i个位置和第1个位置都没有被选择。

那么如果在这个位置选择1，那么i就在1之后选择（即没有被选择），如果在这个位置选择i，那么i就在1之前被选择。

而这个位置选择i的概率是$\frac{A_i}{S}$，选择1的概率是$\frac{A_1}{S}$，那么如果在这个位置决定i和1的位置关系，那么i在1之前被选择的概率即为

$$\frac{\frac{A_i}{S}}{\frac{A_i}{S}+\frac{A_1}{S}}=\frac{A_i}{A_1+A_i}$$

如果不在这个位置决定i和1的位置关系，选择其它的数也不影响这个概率，因为在任何位置即$S$不同，这个概率也是相同的。

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T2

前30分随便做。

50：

发现填的数肯定单调不上升。那么之后和当前数相同的点不会产生逆序对其它都会产生。

于是我们把问题转化为：

已知：

$$\sum_{i-1}^{k}x_i=n$$

求以下式子的最大值：

$$\sum_{i=1}^ka_i(n-a_i)/2$$

显然这个式子可以化简：

$$=(\sum_{i=1}^ka_in+a_i^2)/2$$

$$=n\sum a_i/2-\sum a_i^2/2$$

$$=n^2/2-\sum a_i^2/2$$

那么我们肯定让$a_i$平均分配，答案最大。

70：暴力dp

100：发现这个式子可以斜率优化。优化就完了

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T3

可以发现，在p比较大的时候，直接取一个哈希值以p为模数判断即可。可以获得85分的绝佳成绩。如果害怕被卡，可以考虑多用几个模数，但是千万不能太多，1~4个就好了。

但是p小的时候这就不行了。比如那个p=2。

正解：我们发现区间加并取模在哈希模数不同的情况下无法维护。
————但是单点修改就可以

所以考虑差分，只要差分数组相同，原数组也相同。

所以这个题就做完了（这个真的牛）。

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T4

不会求方案数。