基础线性代数 学习笔记

线性代数首先要有矩阵，矩阵可以看做一种n行m列的二位数组。

矩阵的运算：

加、减、数乘都是对应位置直接相加减乘

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矩阵乘法：

\(A_{i,j}=\sum^{n}_{i=1}X_{i,k}Y_{k,j}\)

由此也可以发现，必须要第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数才可以进行矩阵乘法，最后\(n*k\),\(k*m\)的两个矩阵会变为\(n*m\)的矩阵

这个矩阵乘法看似很拉，实际上用处不小。矩阵乘法满足结合律和分配律，不满足交换律。

所有满足结合律的计算都可以使用快速幂来加速。

不仅如此，这个计算中的求和可以换为求min/max，乘可以换为加，之后都是满足结合律的。

所以可以用来计算某些图论的最短路径/路径条数问题，非常好用。

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矩阵的转置：令\(A_{i,j}=A^T_{j,i}\)即可，记作\(A^T\)

方阵：\(n*n\)的矩阵

主对角线：左上到右下的对角线

单位矩阵：主对角线为1其他为0，所有矩阵左/右乘一个单位矩阵

矩阵的初等行变换：
1、交换两行，可以用交换单位矩阵的这两行，然后右乘原矩阵得到。
2、某一行所有数乘x，可以把单位矩阵这一行变为x倍。
3、把某一行x的t倍加到另一行y上，单位矩阵上y行x列变为t即可。

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行列式：一般用\(|A|\)表示行列式，几何意义为N个N维向量围成的有向体积，如三维的就是平行六面体。

朴素的计算方法为：在每一行找一个数a(i,x)，所有的x会组成一个序列，将这些数全部乘起来，如果序列的逆序对数为偶数则乘1，如果是奇数乘-1，最后把所有可能每一种的序列按如上方法得到的值加起来即可。

行列式的性质：

1、行列式与它的转置行列式相等

2、交换行列式的两行，行列式取相反数

3、行列式的某一行的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

4、行列式如果有两行元素成比例，则此行列式等于零

5、若行列式的某一行每一个元素都可以由两个数相加得到，则这个行列式是对应两个行列式的和。

6、把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变

其中包含了对矩阵进行初等行变换对行列式值的影响。

于是我们可以通过高斯消元求到一个下三角。

\[1\ 2\ 3 \]

\[0\ 5\ 2 \]

\[0\ 0\ 1 \]

这样一个行列式的值即为主对角线上面的值的乘积。因为只有这样的序列没有元素是0。

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求逆矩阵

如果\(AB=E\)，那么\(A\)是\(B\)的逆矩阵(注意
其中\(E\)是单位矩阵
求法很简单。首先我们知道我们可以通过初等行变换使某一个矩阵变为单位矩阵。那么其实A就是某一些操作代表的矩阵的乘积

由于\(AB=E\)，\(AE=A\)，我们可以通过对\(B\)进行初等行变换的同时对\(E\)做同样初等行变换，这样就相当于左乘了一个相同的\(A\)，最后\(E\)在\(B\)变为单位矩阵的时候就变为了\(A\)。

这种方法叫做伴随矩阵法\(awa\)