T186383 取模 题解

事实上，这是BSGS的模板题

但是我们注意到$a,b,p$并不保证互质。

所以我们首先需要约分

原方程可化为$a^x+py=b$

等式两边同时除以$g=gcd(a,p)$，得

$a^x/g+py/g=b/g$

于是有$a^x/g \equiv b/g\ (mod\ p/g)$

当b不能被g整除时，$a^x$必然有一个$b$没有的因子$g$，此时原方程无解

当b能够被g整除时，同余恒等式两边可以同时乘以$g$，得$a^x \equiv b\ (mod\ p/g)$

这个时候，$a^x$和$p/g$就一定互质了吗？

然而并不是。例如，当$p=a^5$时，第一次求得的$g=a$，而$p/g=a^4$，此时依然不互质

由此我们需要多次进行求gcd的过程直到$g=1$

之后使用普通的BSGS算法就可以求得解了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#if(__cplusplus == 201103L)
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#else
#include <tr1/unordered_map>
#include <tr1/unordered_set>
namespace std
{
    using std::tr1::unordered_map;
    using std::tr1::unordered_set;
}
#endif
#include<map>
#include<cmath>
#define int long long
using namespace std;
using namespace tr1;
inline int r()
{
	int s=0,k=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))
	{
		if(c=='-')k=-1;
		c=getchar();
	}
	while(isdigit(c))
	{
		s=s*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return s*k;
}
bool wa;
int p,b,n;
int gcd(int a,int b)
{
	if(!b)return a;
	return gcd(b,a%b);
}
unordered_map<int,int>m;
int pw(int a,int b,int mod)
{
	int base=a,ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			ans*=base;
			ans%=mod;
		}
		base*=base;
		base%=mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int x,y;
int exgcd(int a,int b)
{
	if(!b)
	{
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	int g=exgcd(b,a%b),tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-y*(a/b);
	return g;
}
int ny(int xx,int mod)	
{
	int g=exgcd(xx,mod);
	return (x%mod+mod)%mod;
}
signed main()
{
	while(1)
	{
		bool flag=0;
		b=r();p=r();n=r();
		if(p==b&&b==n&&n==0)return 0;
		m.clear();
		while(1)
		{
			int g=gcd(b,p);
			if(n%g)
			{
				cout<<"No Solution"<<endl;
				flag=1;
				break;
			}
			p/=g;
			if(g==1)break;
		}
		if(flag)continue;
		//n/=g;
		//b%=p;n%=p;
		//b/=g;
	//	cout<<"gcd:"<<g<<"new:"<<b<<" "<<n<<" "<<p<<endl;
		int s=sqrt(p)+3;
	//	cout<<"s:"<<s<<endl;
		int now=1;
		m[1]=0;
		for(int i=1;i<=s;i++)//b^i
		{
			now*=b;
			now%=p;
			if(m.find(now)==m.end())m[now]=i;
		}
		for(int i=0;i<=s;i++)//根号分块 si+j
		{
	//		cout<<"i:"<<i<<endl;
			int tmp=pw(b,i*s,p);
	//		cout<<"原始:"<<tmp<<endl;
			tmp=ny(tmp,p);
	//		cout<<"逆元:"<<tmp<<endl;	
			int xx=n*tmp;
			xx%=p;
	//		cout<<i<<" "<<xx<<endl;
			if(m.find(xx)!=m.end())
			{
				//if(i==0&&m[xx]==0)continue;
				cout<<i*s+m[xx]<<endl;
				flag=1;break;
			}
			//if(i==1)return 0;
		}
		if(!flag)cout<<"No Solution"<<endl; 
	}
}
//	547593860 609866328 563487656