T186333 模意义下的分数乘积 题解

这个题比较离谱的地方是，a和b都和模数不互质。

但是我们很容易发现，\(a,b,p^k\) 有且仅有公因子\(p\)

利用这个结论，我们可以记录a和b中包含的\(p\)的个数单独进行计算，最后合并答案。

如果模数是\(p^x\)，\(p\)是质数，我们可以使用欧拉定理得到逆元即为\(a^{p^{x-1}-1}\)，当然也可以用exgcd

代码如下：

#include<iostream>//注意模数不互质就行 
#include<cstdio>//													
#include<cstring>//													
#include<algorithm>
#define int unsigned long long
using namespace std;
int x,y;
inline int r()
{
	int s=0,k=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))
	{
		if(c=='-')k=-1;
		c=getchar();
	}
	while(isdigit(c))
	{
		s=s*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return s*k;
}
int exgcd(int a,int b)
{
	if(!b)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int g=exgcd(b,a%b);
	int xx=x;
	x=y;
	y=xx-y*(a/b);
	return g;
}
int n,k,p,a,b,up,down,pa,pb,t,ta,tb;
int ny(int t,int md)
{
	exgcd(t,md);
	return ((x%md)+md)%md;
}
int quick_pow(int f,int tot,int mod)
{
	if(tot==0)return 1;
	int base=f;
	int ans=1;
	while(tot)
	{
		if(tot&1)
		{
			ans*=base;
			ans%=mod;
		}
		base*=base;
		base%=mod;
		tot>>=1;
	}
	return ans;	
}
signed main()
{
	cin>>n>>k>>p;t=1;
	for(int i=1;i<=k;i++)t=t*p;
	if(!k)p=1;
	int sb=t/p;
	ta=tb=1;
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a=r();b=r();
		while(a%p==0)
		{
			pa++;
			a=a/p;
		}
		while(b%p==0)
		{
			pb++;
			b=b/p;
		}
		ans*=a%t*quick_pow(b,t-sb-1,t)%t;
		ans%=t;
		printf("%llu\n",((quick_pow(p,pa-pb,t)%t)*ans)%t);	
	}	
}
``