逆元 同余方程 中国剩余定理学习笔记

逆元和同余方程是差不多的样子

1、exgcd：

同余方程即为求$ax \equiv b (mod\ c)$

令 $ax=c(-y)+b$，即$ax+cy=b$，然后解这个方程即可。

2、费马小定理：直接求$a^{p-2}$即可

这里注意到一点问题，如果模数是$p^x$，$p$是质数，我们可以使用欧拉定理得到逆元

即为$a^{p^{x-1}-1}$，这个思想很重要，当然exgcd都可以求的。

3、中国剩余定理

用于解一组同余方程如下

我们的核心思想是先构造一些数使得$x\equiv 1(mod m1)$ $x\equiv 0 (mod m2)$.....

那么怎么构造呢？我们首先知道这个数一定是$m_2*m_3*...*m_k$的倍数，设$m_2*m_3*...*m_k$为$M_1$，那么$x=tM_1$，于是就可以满足$x\equiv 0 (mod m2)$.....

那么对于第一个条件，由于$M_1$一定和$m_1$是互质的，于是我们只需要令$t=M_1^{-1}$，就可以满足以上条件

接下来让这个数乘$a_1$，就有$x\equiv a_1(mod m1)$了

以此类推我们可以得到$x_1$，$x_2$，$x_3$...

最后我们把这些数加起来，根据同余的美妙性质$(a+b)%p=a%p+b%p$，我们便可以得到答案。

最后答案要记得模$m_1m_2m_3...$这样求出来的才是最小整数解。

为什么？显然）