一笔画问题
一笔画问题
如果一个图存在一笔画，则一笔画的路径叫做欧拉路，如果最后又回到起点，那这个路径叫做欧拉回路。
我们定义奇点是指跟这个点相连的边数目有奇数个的点。对于能够一笔画的图，我们有以下两个定理。
定理1：存在欧拉路的条件：图是连通的，有且只有2个奇点。
定理2：存在欧拉回路的条件：图是连通的，有0个奇点。
两个定理的正确性是显而易见的，既然每条边都要经过一次，那么对于欧拉路，除了起点和终点外，每个点如果进入了一次，显然一定要出去一次，显然是偶点。对于欧拉回路，每个点进入和出去次数一定都是相等的，显然没有奇点。
一笔画性质：
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)
求欧拉路的算法很简单，使用深度优先遍历即可。
根据一笔画的两个定理，如果寻找欧拉回路，对任意一个点执行深度优先遍历；找欧拉路，则对一个奇点执行DFS，时间复杂度为O(m+n)，m为边数，n是点数。
l 以下是寻找一个图的欧拉路的算法实现：
l 样例输入:第一行n，m，有n个点，m条边，以下m行描述每条边连接的两点。
l 5 5
l 1 2
l 2 3
l 3 4
l 4 5
l 5 1
l 样例输出:欧拉路或欧拉回路
l 1 5 4 3 2 1
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 using namespace std; 6 int a[1000][1000]; 7 int du[1000]; 8 int sh; 9 int n,m; 10 int tot=0; 11 int ans[1000]; 12 int q,h; 13 void search(int A) 14 { 15 for(int j=1;j<=n;j++) 16 { 17 if(a[A][j]==1) 18 { 19 a[A][j]=0; 20 a[j][A]=0; 21 search(j); 22 } 23 } 24 //tot++; 25 ans[++tot]=A; 26 } 27 int main() 28 { 29 memset(a,0,sizeof(a)); 30 cin>>n>>m; 31 for(int i=1;i<=m;i++) 32 { 33 cin>>q>>h; 34 a[q][h]=1; 35 a[h][q]=1; 36 du[h]++; 37 du[q]++; 38 } 39 sh=1; 40 for(int i=1;i<=n;i++) 41 { 42 if(du[i]%2==1) 43 { 44 sh=i; 45 } 46 } 47 search(sh); 48 for(int i=1;i<=tot;i++) 49 { 50 cout<<ans[i]<<" "; 51 } 52 }
