算法学习--梯度下降

本文为自己在查看一些书和网上的链接后整理所得，非商业性质。

感谢各位前辈的无私分享，若有侵权，请在文章后留言，会尽快删除。

参考链接：https://www.jianshu.com/p/c7e642877b0e

参考链接原文中有详细的介绍，此文中大多数内容摘录自参考链接，但主要目的是作为自己回顾梯度下降知识的笔记，关注的为思路并非具体实现。

梯度下降的场景假设

梯度下降法的基本思想可以类比为一个走向山谷的过程。假设这样一个场景：一个人被困在山上，需要从山上下来(i.e. 找到山的最低点，也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走，同理，如果我们的目标是上山，也就是爬到山顶，那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走。然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。

假设这座山最陡峭的地方是无法通过肉眼立马观察出来的，而是需要一个复杂的工具来测量，同时，这个人此时正好拥有测量出最陡峭方向的能力。所以，此人每走一段距离，都需要一段时间来测量所在位置最陡峭的方向，这是比较耗时的。那么为了在太阳下山之前到达山底，就要尽可能的减少测量方向的次数。这是一个两难的选择，如果测量的频繁（每次走的步长较小），可以保证下山的方向是绝对正确的，但又非常耗时，如果测量的过少（每次走的步长较大），又有偏离轨道（走过了最低点）的风险。所以需要找到一个合适的测量方向的频率（合适的步长），来确保下山的方向不错误，同时又不至于耗时太多！

梯度下降

首先，我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。我们的目标就是找到这个函数的最小值，也就是山谷。根据之前的场景假设，最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快！因为梯度的方向就是函数之变化最快的方向(在后面会详细解释)。所以，我们重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值，这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向，也就是场景中测量方向的手段。那么为什么梯度的方向就是最陡峭的方向呢？接下来，我们从微分开始讲起

微分

看待微分的意义，可以有不同的角度，最常用的两种是：

函数图像中，某点的切线的斜率
函数的变化率

当一个函数有多个变量的时候，就有了多变量的微分，即分别对每个变量进行求微分

梯度

梯度实际上就是多变量微分的一般化。
下面这个例子：

可以看到，梯度就是分别对每个变量进行微分，然后用逗号分割开，梯度是用<>包括起来，说明梯度其实一个向量。

梯度是微积分中一个很重要的概念，之前提到过梯度的意义

在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率
在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向

这也就说明了为什么我们需要千方百计的求取梯度！我们需要到达山底，就需要在每一步观测到此时最陡峭的地方，梯度就恰巧告诉了我们这个方向。梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向，那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向，这正是我们所需要的。所以我们只要沿着梯度的方向一直走，就能走到局部的最低点！

梯度下降算法的数学解释

上面花了大量的篇幅介绍梯度下降算法的基本思想和场景假设，以及梯度的概念和思想。下面我们就开始从数学上解释梯度下降算法的计算过程和思想！

此公式的意义是：J是关于Θ的一个函数，我们当前所处的位置为Θ0点，要从这个点走到J的最小值点，也就是山底。首先我们先确定前进的方向，也就是梯度的反向，然后走一段距离的步长，也就是α，走完这个段步长，就到达了Θ1这个点！

α是什么含义？

α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离，以保证不要走太快，错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的，是一个需要调整的超参数！α不能太大也不能太小，太小的话，可能导致迟迟走不到最低点，太大的话，会导致错过最低点！