算法数学笔记-五、群论入门

目录

• 五、群论入门
  • • • 群的定义
      • 子群与陪集
        • 子群
        • 陪集
      • 拉格朗日定理
      • 轨道-稳定化子定理
      • Burnside定理
      • 排列与置换环计数

五、群论入门

群的定义

可以理解为： \(群G(S, *) = 集合（S）+ 运算（*）\)

群的4个条件：
在运算\(*\)作用下：

1.封闭性 2.存在单位元 3.逆元存在 4.\(*\) 运算满足结合律

子群与陪集

子群

如果 \(H\) 为 $G $ 的一个子集，且（\(H\), \(*\)）满足一个群，则（\(H\), \(*\)）为（\(G\), \(*\)）的一个子群。

陪集

若有\(g \in G\)

左陪集: \(gH\ = g* h\ (h \in H)\)

右陪集: \(Hg\ = h* g\ (h \in H)\)

陪集的性质（以右陪集为例， 左陪集同理）：

1. \(\forall g \in G, |H| = |Hg|\)
2. \(\forall g \in G , g \in Hg\)
3. \(Hg = H \Longleftrightarrow g \in H\)
4. \(Ha = Hb \Longleftrightarrow a * b^{-1} \in H\)
5. $Ha \cap Hb \not = \emptyset \implies Ha = Hb $
6. \(H\) 的全体右陪集的并集为\(G\)
7. 所有关于\(H\)的本质不同的陪集构成\(G\)的划分

\(G / H\) 代表\(G\)的所有左陪集

\([G:H]\) 代表\(G\)中\(H\)的本质不同陪集的数量

拉格朗日定理

若\(G\)是有限群:

则$|H|\ \big |\ |G| \(，进一步：\)|H| * [G:H] = |G|$

轨道-稳定化子定理

考虑\(G\)作用于集合\(X\)：

轨道：

\(x\in X\), 在\(G\) 的作用下，\(x\) 能到达的元素的集合\(G(x)\)

稳定化子:

\(G^x = \{g\ |\ g\in G, g(x) = x\}\) （可知\(G^x\)是\(G\)的一个子群）

使用语言描述，便是群$ G$ 中满足 \(g(x)=x\) 的所有元素 \(g\) 所构成的集合

轨道-稳定子定理：

\[|G^x | * |G(x)| = |G| \]

Burnside定理

定义一个置换群\(G\), 作用于集合\(X\)：

等价类:如果\(x,y \in X\) 且存在\(f \in G\)使得\(f(x) = y\) , 则\(x,y\)属于一个等价类

不同等价类的数量：

\[|X / G| = \frac{1}{|G|} \sum _{g \in G} X^g \]

\(X^g\)表示在\(g\)的作用下不动点的数量，即满足\(g(x) = x\)的$x $的数量

排列与置换环计数

对于\(n\)的每一种无序拆分\(n = \sum k_i * a_i\)，置换环与之对应的排列有\(\frac{n!}{\prod_ia_i^{k_i}(k_i!)}\)种