算法数学笔记-零、常用数表及杂项

目录

• 零、常用数表及杂项
  • 常用数表
  • 牛顿迭代
  • 牛顿广义二项式定理
  • 其它公式
    • • • 复数相乘
        • WQS二分

零、常用数表及杂项

常用数表

n=	拆分数
10	42
20	627
30	5604
40	37338
50	204226
60	966467
70	4087968
80	15796476
90	56634173
100	190569292

（1~n中）n=	本质不同的质因子个数和	质因子个数和	含有大于sqrt（i）的质因子的数的个数	最小质因子个数和	因子个数	因子个数平方
1e3	2126	2877	912	1609	7100	75083
1e4	24300	31985	9597	16121	93768	1504136
1e5	266400	343614	98106	161247	1167066	26324772
1e6	2853708	3626619	990892	1612490	13971034	421094344
1e7	30130317	37861249	9955052	16125085	162728526	...
n	2n~3n	2.8n~3.7n	n	1.61n	nlogn	nlogn logn

牛顿迭代

\(x_{i + 1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}\)

牛顿广义二项式定理

\(\alpha \in R \\ (x + y) ^ {\alpha} = \sum_{k = 0} ^ {\infty} {\alpha \choose k} x^{\alpha - k} y^k \\ { \alpha \choose k} = \frac{\alpha(\alpha - 1)...(\alpha - k + 1)}{k!}\)

其它公式

\(\sum_{i=0}^n ic^i = \frac{nc^{n+2} - (n + 1)c^{n + 1} + c}{(c - 1)^2} \ \ c\not= 1\)

\(\sum_{i=0}^{\infty} ic^i= \frac{c}{(1 - c)^2} \ \ |c| < 1\)

调和级数：

\(H_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\)

\(\sum_{i=1}^n iH_i = \frac{n(n+1)}{2}H_n - \frac{n(n-1)}{4}\)

\(\sum_{i=1}^n = (n+1)H_n - n\)

\(\sum_{i=1}n{i \choose m}H_i = {{n+1}\choose{m+1}}(H_{n+1} - \frac1{m+1})\)

组合数

\[{r\choose k} = \begin{cases} \frac{r(r - 1) ...(r - k + 1)}{k(k-1)...(1)} = \frac{r^{\underline k}}{k!} & k \geq 0 \\ 0 & k< 0 \end{cases} \\ ! : 当k<0 时 {k\choose k} = 0, 并非 \ 1 \]

\({n\choose k} = (-1)^k{k-n-1\choose {k}}\)

\({n\choose k} = \frac n k{{n-1}\choose{k-1}}\)

\({n\choose m}{m\choose k} = {n\choose k}{{n-k}\choose {m-k}}\)

\(\sum _{k=0}^n {r\choose k}{s\choose {n-k}} = {{r+s}\choose n}\)

将数组a排序后，前i个数任意异或的最大值不超过a[i] * 2

\(x {{x +k} \choose n} = (k +1) {{x + k} \choose {n + 1}} + (n - k) {{x + k + 1}\choose {n+1}}\)

对任意正整数x，\(\sum_{i - 1} ^ n {{i}\choose{x}} = {{n + 1}\choose{x + 1}}\)

对于矩阵A，满足\(A_{i,j} = ij*gcd(i, j)\)，高斯消元后，有：

\[A'_{i,j} = \begin{cases} ij\varphi(i) & i\ \ |j \\ 0 & i \not |j \end{cases} \]

对于矩阵B，满足\(B_{i,j} = gcd(i, j)\),在高斯消元后，有：

\[B'_{i,j} = gcd(i,j) = \begin{cases} \varphi(i) & i \ \ | j \\ 0 & i\not | j \end{cases} \]

\(ij = - \frac{i^2} 2 - \frac{j^2}{2} + \frac{(i + j) ^ 2}{2}\)

但i,j不一定有二次剩余, 所以

\(-ij = C^2_i + C^2_j - C^2_{i + j}\)

\(\sum _{i = 1} ^ \infty i ^{-2} = \frac{\pi ^ 2}{6}\)

\(\varphi(ij) = \frac{\varphi(i)\varphi(j)gcd(i,j)}{\varphi(gcd(i,j))}\)

给一个多项式除去\((1 + x)\)就相当于乘上\((1 - x + x^2 - x^3 + ... )\)可以使用前缀和优化，也可以理解为可撤销背包

使用斯特林数展开为下降幂：

\(x^n = \sum_{i = 0}^n {x \choose i} i! S(n, i) = \sum_{i = 0}^n S(n, i)x^{\underline{i}}\)

\(C_n^k *k^{\underline{m}} = C_{n - m} ^ {k - m} * n^{\underline{m}}\)

\(x^n = \sum_{k=0}^n Eular(n, k) {{x +k} \choose n}\)

子集枚举 (复杂度\(O(3^n)\))

for(int s = t; s; s = (s - 1) & t);

复数相乘

几何定义：模长相乘，幅角相加

代数定义：

\[(a + bi) * (c + di) \\ = ac + adi + bci + bdi^2 \\ = ac + adi + bci - bd \\ = (ac - bd) + (bc + ad)i \]

WQS二分

WQS 二分通常用来解决下面这类问题：

给定若干 n 个物品，要求从中恰好选 M 次，最大化 / 最小化 选的物品权值和。

几个关键点：

1.正向二分(从 -inf ~ +inf)

2.先想清楚随着mid增大，m会增加还是减小

3.如果是m增大,则在check()中,同等优解的情况下,尽量使m更大,二分中寻找第一个check(mid) >= M的位置.

如果是m减小,则在check()中,同等优解的情况下,尽量使m更小,二分中寻找第一个check(mid) <= M的位置.

4.答案既是ans + M * mid 或 ans - M * mid(不是实际选择次数m * mid);

*2022/10/5 移除范德蒙德卷积，新增于《四、组合数学》及推论
*2022/10/6 新增 WQS二分
*2022/11/24 新增排列组合及下降幂的诸多公式