All I know about A/B Test (1) : 均值型指标与比值（率）型指标的计算区别

因为最近在找实习，所以打算把自己之前学过的关数据分析的知识总结（复习）一下。在总结A/B test时，我发现中文互联网中关于A/B test的总结已经很多了，但是对于均值型指标和比值（率）型指标在设计实验、计算统计量时的区别却没有一个很明确的总结。甚至有的文章给出的计算公式语焉不详、前后矛盾，计算样本数量给的是均值型指标的计算公式，计算Z值时又给出了比值（率）型指标的计算公式。

均值型指标和比值（率）型指标

在互联网数据分析中，有许多指标是数据分析师所关心的，对于不同的数据分析任务需要选取合适的指标。对A/B test而言，这些指标可以分为两类

比值（率）型，如点击率、转化率等
均值型，如人观看时长等

需要注意的是，在统计学中，这两类指标的假设检验是不同的。这种不同主要体现在三个方面：效应量（Effect size）的计算、所需样本量的计算以及Z检验统计量的计算。

所需样本量

在给出计算样本量之前，首先介绍一下样本量的四个影响因素，分别是：

显著性水平（α）：显著性水平越低，对实验结果的要求也就越高，越需要更大的样本量来确保精度
统计功效（1 – β）：统计功效意味着避免犯二类错误的概率，这个值越大，需要的样本量也越大
均值差异（ $\mu_1, \mu_2$ ）：如果两个版本的均值差别巨大，也不太需要多少样本，就能达到统计显著
标准差（σ）：标准差越小，代表两组差异的趋势越稳定。越容易观测到显著的统计结果

一个A/B test需要的样本量就由四个指标进行计算：

比值（率）型指标

$N = \frac{(z_{1-\alpha/2}\sqrt{2\frac{p_1 +p_2}{2}(1-\frac{p_1 +p_2}{2})} +z_{1-\beta}\sqrt{p_1(1-p_1)+ p_2(1-p_2)} )^2}{(p_1-p_2)^2}$
其中 $p_1,p_2$ 分别表示两组样本的比值型指标。上述方法为R和G*power中使用公式，其他工具略有不同，更多比值类样本量计算方法，参考[2]。
均值型指标

N_{1} = k N_{2}

$N_1 = kN_2$

N_{2} = (1 + \frac{1}{k}) (σ \frac{z_{1 - α / 2} + z_{1 - β}}{μ_{1} - μ_{2}})^{2}

$N_2 = (1+ \frac{1}{k})(\sigma\frac{z_{1-\alpha/2}+ z_{1-\beta}}{\mu_1 - \mu_2})^2$

其中 $N_1,N_2$ 分别表示两组样本数量； $z_{1-\alpha/2},z_{1-\beta}$ 通过 $z$ 分布计算； $\mu_1,\mu_2$ 分别为当前均值指标和预估改进后均值指标（或者期望检测到的指标变化）。重点是标准差 $\sigma$ ,实验前很难知道其大小，一般可以根据经验值预估。

效应量（Effect size）

效应量又称效应值，提供了对效应大小的具体测量，也就是说反映了具体效果的大小。

比值（率）型指标

e s = 2 (a r c s i n (\sqrt{p_{1}}) - a r c s i n (\sqrt{p_{2}}))

$es = 2(arcsin(\sqrt{p_1})- arcsin(\sqrt{p_2}))$

均值型指标
$es = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma_{pooled}} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}}$
其中 $s_1, s_2$ 分别表示两组样本的标准差.

Z检验统计量

比值（率）型指标
- 商务与经济统计[1]中给出的方法
  
  $z = \frac{\overline{p}_1 - \overline{p}_2}{\sqrt{\overline{p}(1-\overline{p})(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$
  $\overline{p} = \frac{n_1\overline{p}_1 + n_1\overline{p}_1}{n_1 + n_2}$
- 网络中给出的方法：
  
  $z = \frac{(p_1 - p_2) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}$
  找了好久没有找到推导，个人看法是把比值型指标看做伯努利分布，则根据中心极限定理， $B(1,p)\sim N(p,p(1-p))$ ，然后从均值型指标公式推导过来。
均值型指标

$z = \frac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$