同余问题

定义：设m是正整数，a和b是整数。如果m|（a-b），则称a模b同余b，或a与b模m同余，记作a≡b（mod m）。

a与b模m同余的条件：

1.a与b除以m余数相同，即a mod m=b mod m。

2.a=b+km，其中k是整数。

同余关系是等价关系，即具有自反性，对称性，传递性。

性质1：模算术运算    若a ≡ b（mod m），c ≡ d（mod m），则

                              a±c ≡ b±c（mod m），ac ≡ bd（mod m），a^k ≡ b^k（mod m），其中k是非负数。

性质2：设d>=1，d|m，则 a ≡　b（mod m）=》a ≡ b（mod d）。

性质3：设d>=1，则 a ≡ b（mod m）《=》da ≡ db（mod dm）。

性质4：设c与m互素，则a ≡ b（mod m） 《=》ca ≡ cb（mod m）。

例题：3^455的个位数是多少？

       解：设3^455的个位数为x，则有3^455 ≡ x（mod 10）.由3^4 ≡ 1（mod 10）和性质1，有3^455 =3^4*113+3 ≡　3^3　（mod 10）=7，故3^455的个位数为7.