素数

整除的定义：设a,b是两个整数，且b≠0。如果存在整数c，使a=bc，则称a被b整除，记作b|a。

素数的定义：如果正整数a大于1且只能被1和它自己整除，则称a是素数；如果a大于1且不是素数，则称a是合数，素数也叫做质数。

合数的一个性质：合数必有素数因子，即设a是一个合数，则存在素数p，使得p|a。

算术基本定理：设a>1，则

                    a=p1^r1p2^r2p3^r3...pk^rk，其中p1,p2,p3...pk是不相同的素数，r1,r2....rk是正整数（其实ri也可以为0），并且不计顺序的情况下，该表示是惟一的。该表达式也叫做a的素因子分解。 

推论：设 a=p1^r1p2^r2p3^r3...pk^rk，其中p1,p2,p3...pk是不相同的素数，r1,r2....rk是正整数，则正整数d为a的因子的充分必要条件是

                  d=p1^s1p2^s2...pk^sk，其中0<=si<=ri，i=1,2,3...k。

例题：（1）99099有多少个正因子？

          解：99099=3^2*7*11^2*13.由推论可知99099的正因子个数为  3*2*3*2=36.（所有素因子的组合，3，7，11，13的个数取值分别为3，2，3，2。例如，3的个数可以为0，1，2。）

         （2）20！的二进制表示中从低位数起有多少个连续的0？

          解：只需求20！含有多少个因子2。不超过20的含有因子2的数（即偶数），有2，4=2^2，6=2*3，8=2^3，10=2*5，12=2^2*3，14=2*7，16=2^4，18=2*9，20=2^2*5。一共有18个，故20！含有18个因子2，则20！的二进制表示中从低位数起有18个连续的0.

推论：任何一个正整数n，n！的二进制表示从最低位数起，连续0的个数等于n！含有多少个因子2。

推论：如果a是一个合数，则a必有一个小于等于√a￣的素因子。

记P(n)为小于等于n的素数个数，则有P（100）=25，P（10^3）=（145~168），P（10^4）=（1086~1229），P（10^5）=（8686~9592）,P（10^6）=（72382~78498），P（10^7）=（620421~6644579）。

素数的筛法（埃拉托尼斯筛法）

代码实现:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 100000
int isprime[maxn],prime[maxn],nprime;
int main()
{
    __int64 i,j;
    nprime=0;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    isprime[1]=0;
    isprime[0]=0;
    for(i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(isprime[i])
        {
            prime[nprime++]=i;
            for(j=i*i;j<maxn;j+=i)
                isprime[j]=0;
        }
    }
    for(int k=0;k<nprime;k++)
        printf("%d ",prime[k]);
    return 0;
}

 数a和b互素的充分必要条件是存在整数x和y使得xa+yb=1.