平面内区域的计数

若平面上的直线，任意二线不平行且任意三线不共点，则称这些直线居一般位置。下面计算n条居一般位置的直线能在平面上构成多少个区域。当n=1时，为2；当n=2时，为4；当n=3时，为7......

猜测：在平面上n-1条居一般位置的直线添加一条直线后会增加n个区域。

证明：我们采用数学归纳法证明的另一种技巧。暂时先把第n条直线移去，此时，根据归纳假设，由于没有第n条直线，因此第（n+1）条直线会增加n个新区域。这样我们只需证明第n条直线的存在使得第（n+1）条直线多增加一个区域。

定理：平面上n条居一般位置的直线能把平面分割成n(n+1)/2+1个区域。

证明：第n条直线会增加n个区域。第一条直线会构成两个区域，因此区域总数为2+2+3+4+5+...+n。即n(n+1）/2+1。

公式：①n条直线把平面分割成的区域数： f(n)=f(n-1)+n=n(n+1)/2+1;

②把空间分割为最多的区域数的时候，第n个平面与前(n-1)个平面相交，且无三面共线，所以此时该平面与前(n-1)个平面有(n-1)条交线。这些交线把第n个平面分割为f(n-1)个区域，于是这个平面将原有空间一分为二，故增加了f(n-1)个空间，得递推公式：g(n)=g(n-1)+f(n-1)=(n^3+5n)/6+1。