波雷尔-康特利引理

More consequences: increasing limits.

Proposition.

假设 \(A_{n} \in \mathcal{M}\) 且 \(A_{n} \subset A_{n + 1}\) 对于 \(n = 1,2,{\ldots}\) 。那么

\[m\left( \bigcup A_{n} \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} m\left( A_{n} \right) \]

如果定义 \(A \mathrel{\text{:=}} \bigcup A_{n}\)，我们可以将命题的假设写成 \(A_{n} \uparrow A\)。用这种语言表述，命题断言：

\[A_{n} \uparrow A \Rightarrow m\left( A_{n} \right) \rightarrow m(A). \]

设定 \(B_{n} \mathrel{\text{:=}} A_{n} \smallsetminus A_{n - 1}\)（其中 \(B_{1} = A_{1}\)），那么 \(B_{i}\) 是两两不相交的，并且与 \(A_{i}\) 的并集相同，所以

\[m\left( \bigcup A_{n} \right) = \sum_{i = 1}^{\infty} m\left( B_{i} \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^n m\left( B_{n} \right) \]

\[= \lim_{n \rightarrow \infty} m\left( \bigcup_{i = 1}^n B_{i} \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} m\left( A_{n} \right). \]

这里描述了一种情况，即当一系列集合逐渐增大并趋向于一个极限集合时，它们的测度也逐渐增大并趋向于这个极限集合的测度。

More consequences: decreasing limits.

Proposition.

如果 \(C_{n} \supset C_{n + 1}\) 是 \(\mathcal{M}\) 中的一个递减集合族，并且 \(m\left( C_{1} \right) < \infty\)，

那么

\[m\left( \bigcap C_{n} \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} m\left( C_{n} \right) \]

证明：

设 \(C = \bigcap C_{n}\) 并且 \(A_{n} \mathrel{\text{:=}} C_{1}/C_{n}\)。那么 \(A_{n}\) 是一个单调递增的集合族，如前述命题所述，所以 \(m\left( C_{1} \right) - m\left( C_{n} \right) = m\left( A_{n} \right) \rightarrow m\left( C_{1}/C \right) = m\left( C_{1} \right) - m(C)\)。现在从两边减去 \(m\left( C_{1} \right)\)。

取 \(C_{n} = [n, \infty)\) 表明我们需要对某些 \(k\) 有 \(m\left( C_{k} \right) < \infty\)。

Axiomatic approach.

现在我们将定理 6 中的条目视为公理：设 \(X\) 是一个集合。（通常 \(X\) 将是一个拓扑空间甚至是度量空间）。\(X\) 的子集的集合 \(\mathcal{F}\) 称为 \(\sigma\) 域，如果：

• \(X \in \mathcal{F}\)，

• 如果 \(E \in \mathcal{F}\)，那么 \(E^{c} = X \smallsetminus E \in \mathcal{F}\)，

• 如果 \(\left\{E_{n} \right\}\) 是 \(\mathcal{F}\) 中的元素序列，则 \(\bigcup_n E_{n} \in \mathcal{F}\)，

任何 \(\sigma\)-域的家族的交集也是一个 \(\sigma\)-域，因此，给定任何子集集合 \(\mathcal{C}\)，存在一个包含它的最小 \(\sigma\)-域 \(\mathcal{F}\)。那么 \(\mathcal{F}\) 被称为由 \(\mathcal{C}\) 生成的 \(\sigma\)-域。

如果 \(X\) 是一个度量空间，由开集的集合生成的 \(\sigma\)-域称为 Borel \(\sigma\)-域，通常记为 \(\mathcal{B}\) 或 \(\mathcal{B}(X)\)，属于 \(\mathcal{B}\) 的集合称为 Borel 集。

给定一个 \(\sigma\)-域 \(\mathcal{F}\)，一个（非负的）测度是一个函数

\[m : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty] \]

满足：

• \(m(\varnothing) = 0\)，

• 可数可加性：如果 \(F_{n}\) 是 \(\mathcal{F}\) 中的不相交集合序列，则

\[m\left( \bigcup_n F_{n} \right) = \sum_n m\left( F_{n} \right) \]

在可数可加性条件中，两边可能是无穷的，这一点需要理解。

一个集合 \(X\) 上的外测度是一个映射 \(m^{*}\) 到 \([0,\infty]\)，定义在 \(X\) 的所有子集上，并满足：

• \(m^{*}(\varnothing) = 0\)，

• 单调性：如果 \(A \subset B\)，则 \(m^{*}(A) \leq m^{*}(B)\)，

• 可数次可加性：\(m^{*}\left( \bigcup_n A_{n} \right) \leq \sum_n m^{*}\left( A_{n} \right)\)。

给定一个外测度 \(m^{*}\)，我们定义一个集合 \(E\) 是可测的（相对于 \(m^{*}\)），如果对所有集合 \(A\)，

\[m^{*}(A) = m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \cap E^{c}) \]

此时我们刚刚证明的 Caratheodory 定理断言，可测集合的集合是一个 \(\sigma\)-域，并且 \(m^{*}\) 在可测集合的集合上的限制是一个测度，通常我们将其记为 \(m\)。

在术语上有一些不幸的分歧，在许多专业人士中，尤其是在几何测度理论中，将我们一直称为“外测度”的术语用作“测度”。然而，我们将遵循上述习惯上的标准。

显而易见的任务，考虑到 Caratheodory 定理，是寻找构造外测度的方法。

我想展示我们两个“单调收敛”命题的一些显著应用：

\[A_{n} \uparrow A \Rightarrow m\left( A_{n} \right) \rightarrow m(A) \]

以及（使用显而易见的标记）

\[C_{n} \downarrow C \text {且} m\left( C_{1} \right) < \infty \Rightarrow m\left( C_{n} \right) \rightarrow m(C). \]

设 \(E_{n}\) 是一系列可测集合。下面定义集合 \(E\) 的方法是同义的：

\[E \mathrel{\text{:=}} \{E_{n} \text{ i.o.}\} = \{E_{n} \text{ 无限次}\} \]

\[\mathrel{\text{:=}} \limsup E_{n} \]

\[\mathrel{\text{:=}} \bigcap_k \bigcup_{n \geq k} E_{n} \]

\[\mathrel{\text{:=}} \{x \mid \forall k \exists n(k) \geq k \text{ 使得 } x \in E_{n(k)} \} \]

\[\mathrel{\text{:=}} \{x \mid x \in E_{n} \text{ 对无限多个 } E_{n} \} \]

The first Borel-Cantelli lemma (BC1)

Lemma

引理

假设 \({\sum}m\left( E_{n} \right) < {\infty}\) ，则 \(m\left( \lim\sup E_{n} \right) = 0\) 。证明如下：

设 \(G_{k} = \mathop{{\bigcup}}\limits_{n {\geq} k}E_{n}\) 。因此 \(\mathop{{\bigcup}}\limits_{k {\leq} n {\leq} p}E_{n} {\uparrow} G_{k}\) 。但是

\[m\left( \mathop{{\bigcup}}\limits_{k {\leq} n {\leq} p}E_{n} \right) {\leq} \mathop{{\sum}}\limits_{k {\leq} n {\leq} p}m\left( E_{n} \right) \]

因此 \(m\left( G_{k} \right) {\leq} \mathop{{\sum}}\limits_k^{{\infty}}m\left( E_{n} \right)\) 。由于 \(\lim\sup E_{n} {\subset} G_{k}\) 对所有 \(k\) 成立，并且 \({\sum}m\left( E_{n} \right) < {\infty}\) ，我们得出结论：通过选择足够大的 \(k\)，\(m\left( \lim\sup E_{n} \right)\) 小于任意正数。

Some probabilistic language

We now restrict to the case where \(m(X) = 1\) and use \(\mathbb{P}\) instead of \(m\) . A measurable set is now called an event. A sequence of events \(E_{n}\) is called independent if,for every \(k {\in} \mathbb{N}\) ,if all the \(i_{1},{\ldots}i_{k}\) are distinct then

\[\mathbb{P}\left( E_{i_{1}} {\cap} {\cdots} {\cap} E_{i_{k}} \right) = {\prod}\mathbb{P}\left( E_{i_{j}} \right). \]

第二个波雷尔-康特利引理（BC2）

引理

设 \(E_{n}\) 是一系列独立事件。那么

\({\sum}\mathbb{P}\left( E_{n} \right) = {\infty} {\Rightarrow} \mathbb{P}\left( E_{n}\text{ 无限发生 } \right) = 1.\)

注意 \(E_{n}\) 无限发生 \(= \mathop{{\bigcap}}\limits_k\mathop{{\bigcup}}\limits_{n {\geq} k}E_{n}\) ，因此它的补集是

\[\mathop{{\bigcup}}\limits_k\mathop{{\bigcap}}\limits_{n {\geq} k}E_{n}^{c} \]

我们必须证明这个事件的概率为零，为此，只需证明 \(\mathop{{\bigcap}}\limits_{n {\geq} k}E_{n}^{c}\) 的概率为零。现在

\[\mathop{{\bigcap}}\limits_{k {\leq} n {\leq} {\ell}}E_{n}^{c} {\downarrow} \mathop{{\bigcap}}\limits_{n {\geq} k}E_{n}^{c} \]

因此只需证明当 \({\ell} {\rightarrow} {\infty}\) 时，\(\mathbb{P}\left( \mathop{{\bigcap}}\limits_{k {\leq} n {\leq} {\ell}}E_{n}^{c} \right) {\rightarrow} 0\) 。

设 \(p_{n} \mathrel{\text{:=}} \mathbb{P}\left( E_{n} \right)\) ，使得 \(\mathbb{P}\left( E_{n}^{c} \right) = 1 {-} p_{n}\) 。那么，由独立性可知，

\[\mathbb{P}\left( \mathop{{\bigcap}}\limits_{k {\leq} n {\leq} {\ell}}E_{n}^{c} \right) = \mathop{{\prod}}\limits_{k {\leq} n {\leq} {\ell}}\left( 1 {-} p_{n} \right). \]

现在对于 \(x {\geq} 0\)，有 \(1 {-} x {\leq} e^{{-}x}\) ，因此

\[\mathop{{\prod}}\limits_{k {\leq} n {\leq} {\ell}}\left( 1 {-} p_{n} \right) {\leq} e^{{-}\mathop{{\sum}}\limits_{k {\leq} n {\leq} {\ell}}p_{n}} \]

由于 \({\sum}p_{n} = {\infty}\) ，因此最后一个表达式趋近于零。

请注意，我们得到了一个“0或1定律”，即对于一系列独立事件 \(E_{n}\) ，我们得出结论 \(\mathbb{P}\left( E_{n}\text{ 无限发生} \right)\) 要么是零，要么是一。