“翻转门游戏”的分析
问题说明：
游戏《Doors and Rooms》中第二章第一关是这样的，如下图，点击每一个按钮，不同的门会翻转（每一个按钮对应的翻转的门是固定的，例如第一个按钮对应翻转的门是2、3、4，即每按一次1号按钮时，2、3、4号门的状态会翻转）。这关游戏的通关状态是打开所有4个门。这个问题开始没有多想，反正通过这一关也很简单，一通瞎按就可以……前几天突然想起了这个问题，进行了一番分析，权且把这个问题定义为“翻转门游戏”。
问题抽象
对这个问题进行如下抽象，假设共有N扇门和N个按钮，其中N最小为3，最大为10：
- 对于每一个按钮，点击时候所有翻转的其它门抽象为一个“掩码”。如存在4扇门时候，1号按钮对应“掩码”为0111，即表示点击此按钮时，对应的2、3、4号门会发生翻转（注意此掩码左边为最低位！）。
- 设定“掩码”不能为全0，也不能为全1。即不能一个按钮点下之后，没有门翻转；也不能一个按钮点下之后，所有门发生翻转从而通关。这样的话，对于N扇门，所有掩码个数为2N-2。
- 设定“掩码”不能重复，即任意两个按钮所对应的翻转的门不同。
- 对于N扇门，所有N个掩码组合，最多有C(2N-2,N)组，其中C表示组合数CNK。
- 初始的“掩码”为0，点击一个按钮之后的门的状态可以用目前的掩码MASK表示，MASK = MASK^F(i)。即当前掩码和第i个按钮的掩码异或运算，得到当前的掩码。当前的掩码和当前的门的状态是对应的。（如初始MASK=0，F(1)=0111,则点击一次1号按钮之后，MASK=0^0111=0111。此时表示2、3、4号门是打开的）
可以看出，游戏通关条件变成了，初始“掩码”为全0，通过每个按钮的不同“掩码”F(i)的异或运算组合，把当前掩码设置为全1。而异或运算有如下性质：
- 顺序可交换，即(A^B)^C)=(A^C)^B
- 偶数次异或归零，即A^A=0
由这连个性质可以得到，1、通关策略或者说通关步骤是无序的。2、如果一个通关策略中偶数次点击一个按钮，则改通关策略中去除所有改按钮，仍是一个通关策略。3、如果一个通关策略中基数次点击一个按钮，则可以将改通关策略简化为只点击改按钮一次。
因此，对于特定的N以及一组特定的“掩码”组合F(1),F(2),...,F(N)。判定该组合能不能通关，只需要依次得到这个集合的所有非空子集，如果一个子集所有元素经过异或运算后结果为全1，则次集合构成一个通关策略。
轻松一下，进行游戏
The Simple Rotating Door Game!
“翻转门游戏”说明
- 规则
- 每一扇门对应一个“掩码”，表示点击此门之后，会发生翻转的门。例如有三扇门（A、B、C）时，如果门A的掩码为011，表示当点击门A时候，门B和门C会发生翻转
- 胜利条件
- 游戏胜利条件为：翻转所有门
- 注意
- 最多有10扇门，最少有3扇门
- 点击“Random Mask”可以随机生成“掩码”，但随机生成的掩码不一定满足通关条件，可以点击“Check Mask”查看是否可行
- 点击“Help”可以获得所有通关组合
Current Mask: Current Step:
说明，如果页面上不能正常显示，下面是另一个源代码，直接保存为HTML，打开即可。需要注意的是：1、为了操作方便，代码中把CSS和JS全部写到单个文件。2、代码中使用了jquery，并且直接使用外部JS，故下载后正常运行，需要联网得到jquery
<!-- /* * lycc's html file for the rotating doors game * Author: lycc316 * * */ --> <!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"> <head> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" /> <title>New Web Project</title> <!-- <script type=text/javascript src="jquery.min.js"></script> --> <script type=text/javascript src="http://code.jquery.com/jquery-1.10.2.min.js"></script> <style type="text/css"> div.text-picture { height:200px; width:120px } .head_span{ float:left; /*font-weight: bold;*/ } .mask_span{ background-color: black; color: white; float: left; display:block; width:50px; } .step_span{ background-color: black; color: white; float: left; display:block; width:180px; } button span{ background-color: white; } .text-picture span{ font-family:"Times New Roman"; font-size: 120px; width:100px; display:block; color:blue; } .init_no_hide{ display:block; } .init_hide{ display:none; 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求出特定N的所有通关组合
对于指定的N，其“掩码”组合最多有C(2N-2,N)，计算每一个“掩码”组合的通关策略需要遍历其所有子集。如果遍历子集操作可以在线性时间完成，则求出所有组合的复杂度至少是C(2N-2,N)*2N。下面使用python得出当N=4时候，所有通关策略。
说明；N=4时，“掩码”可以取到1000~0111（限定不能去全1组合；且注意最左边为最低位，故掩码0111对应十进制数为14），4个“掩码”组合共有C144=1001个，其中有效组合为71组。
特别提醒：代码中RotatingDoor(4)，即表示N=4，当N>5时候C(2N-2,N)*2N增长非常快，且由于代码中将输出结果定向到文件中（方便查看），当N>5时，对写文件和巨大的计算量要有准备。试了一下，当n=10时，Windows7直接死机……
1 #!/usr/bin/python 2 3 import os 4 from itertools import combinations 5 6 class RotatingDoor: 7 def __init__(self,number): 8 self.number = number 9 self.max = (1<<number)-1 10 self.min = 1 11 self.matrix = range(self.max-1,self.min-1,-1) 12 self.resultfile = "result.txt" 13 self.count = 0 14 self.good = 0 15 16 def calculate(self): 17 with open(self.resultfile,'w') as fp: 18 self.print_begin(fp) 19 for one_list in list(combinations(self.matrix, self.number)): 20 self.count += 1 21 self.testandprint(fp, one_list) 22 self.print_end(fp) 23 24 def testandprint(self,fp,one_list): 25 try: 26 find_list=[] 27 for step in range(self.number,0,-1): 28 for com_list in list(combinations(one_list,step)): 29 result = 0 30 for temp_number in com_list: 31 result ^= temp_number 32 if result == self.max: 33 find_list.append(com_list) 34 if find_list: 35 self.good +=1 36 self.print_head(fp,one_list) 37 for find_item in find_list: 38 self.print_item(fp,find_item) 39 except IOError as err: 40 print('File Error:%s' % str(err)) 41 42 def tobin(self,int_list): 43 return [ bin(one)[2:].rjust(self.number,'0') for one in int_list ] 44 45 def print_begin(self,fp): 46 try: 47 fp.write("Start!\tNumber:%d\n" % self.number) 48 except IOError as err: 49 print('File Error:%s' % str(err)) 50 51 def print_end(self,fp): 52 try: 53 fp.write("\nEnd!\t Total count:%d\tTotal good count:%d\n" % (self.count, self.good)) 54 except IOError as err: 55 print('File Error:%s' % str(err)) 56 57 def print_head(self,fp,test_list): 58 try: 59 fp.write("\n\nNumber:%s\tBinary:%s\n" % ( str(test_list), str(self.tobin(test_list)) )) 60 except IOError as err: 61 print('File Error:%s' % str(err)) 62 63 def print_item(self,fp,int_list): 64 try: 65 fp.write("\tFind one combinations:%s\t Binary:%s\n" % ( str(int_list), str(self.tobin(int_list)) )) 66 except IOError as err: 67 print('File Error:%s' % str(err)) 68 69 if __name__ == '__main__': 70 rotating = RotatingDoor(4); 71 rotating.calculate()
结语
一个简单的游戏，如果扩展起来，可能会相当复杂。对于这个问题理解其中的原理才是关键，同时把这个游戏实现一下也是很有意思的问题……
其中的原理，个人认为有两点：
- 每一个按钮对其它门的控制与“掩码”相对应，点击按钮操作与“掩码”的异或运算对应
- 利用异或运算的性质简化求解，只需要遍历特定“掩码”组合的所有子集即可
实现求出所有组合的过程中，由于对N增大时的计算量估计不足，直接导致了死机。当然，在实现过程中，也有一些其他收货：
- 求一个子集的组合数序列，如6个不同数中所有4个不同数的序列，这个可以用递归实现，当N比较小时，可以直接使用位运算，参考http://blog.csdn.net/w57w57w57/article/details/6657547。
- 求集合的所有子集，可以一次求集合的所有1元子集一直到N元子集，当N比较小时，也可以使用位运算。同时，python直接提供了itertools.combinations，很强大也很方便
- 位运算在许多场合都有出其不意的效果，有时候真是简单、暴力又有效.
