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命题:设A为n阶实对称阵,α为n维实向量,(AααT1)为正定阵,证明:A正定且αTA−1α<1
证明:作合同变换
(E0−αTA−1E)(AααT1)(E−A−1α0E)=(A001−αTA−1α)
而合同变换保持正定性,故A正定且αTA−1α<1
注:由命题我们容易得出下面考研题
(03中科院七)设Q为n阶正定阵,x为n维实向量,则xT(Q+xxT)−1x<1
命题:设A为n阶实对称阵,α为n维实向量,(AααT1)为正定阵,证明:A正定且αTA−1α<1
证明:作合同变换
(E0−αTA−1E)(AααT1)(E−A−1α0E)=(A001−αTA−1α)
而合同变换保持正定性,故A正定且αTA−1α<1
注:由命题我们容易得出下面考研题
(03中科院七)设Q为n阶正定阵,x为n维实向量,则xT(Q+xxT)−1x<1
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