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$\bf命题1：$任何实数都是某个有理数列的极限

证明：设$A$为实数,若$A$为有理数,则令\[{a_n} = A,n \in {N_ + }\]
即可,若$A$为无理数,则令\[{a_n} = \frac{{\left[ {nA} \right]}}{n},n \in {N_ + }\]
其中${\left[ x \right]}$表示不超过$x$的最大整数,因此${a_n}$都是有理数.而$A$为无理数,则
\[nA - 1 < \left[ {nA} \right] < nA,n \in {N_ + }\]即\[A - \frac{1}{n} < {a_n} < A,n \in {N_ + }\]从而由夹逼原理即证