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1{an}为单调增加的数列,则lim

证明:记M = \mathop {Sup}\limits_{k \ge 1} \left\{ {{a_k}} \right\}
\left( 1 \right)M < + \infty 时,由上确界的定义知,对任给\varepsilon > 0,存在{a_N},使得
M - \varepsilon < {a_N} \le M
由于\left\{ {{a_n}} \right\}为单调增加数列,则当n > N时,有
M - \varepsilon < {a_N} \le {a_n} \le M < M + \varepsilon
从而由数列极限的定义即证

\left( 2 \right)M = + \infty 时,由上确界的定义知,对任给\varepsilon > 0,存在{a_N},使得
{a_N} > \varepsilon
由于\left\{ {{a_n}} \right\}为单调增加数列,则当n > N时,有
{a_n} \ge {a_N} > \varepsilon
从而由数列极限的定义即证

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