6
命题1:设{an}为单调增加的数列,则lim
证明:记M = \mathop {Sup}\limits_{k \ge 1} \left\{ {{a_k}} \right\}
\left( 1 \right)当M < + \infty 时,由上确界的定义知,对任给\varepsilon > 0,存在{a_N},使得
M - \varepsilon < {a_N} \le M
由于\left\{ {{a_n}} \right\}为单调增加数列,则当n > N时,有
M - \varepsilon < {a_N} \le {a_n} \le M < M + \varepsilon
从而由数列极限的定义即证
\left( 2 \right)当M = + \infty 时,由上确界的定义知,对任给\varepsilon > 0,存在{a_N},使得
{a_N} > \varepsilon
由于\left\{ {{a_n}} \right\}为单调增加数列,则当n > N时,有
{a_n} \ge {a_N} > \varepsilon
从而由数列极限的定义即证
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步