实变函数基本理论及其应用

基本理论

$\bf(Egoroff定理)$设$E$为测度有限的可测集，${f_n}\left( x \right)$为$E$上的可测函数列.

若${f_n}\left( x \right)$在$E$上几乎处处收敛于$f(x)$，则对任给的$\delta  > 0$，存在${E_\delta } \subset E$，使得$m\left( {E\backslash {E_\delta }} \right) < \delta $，且${f_n}\left( x \right)$在$E_\delta $上一致收敛于$f(x)$

方法一  方法二

$\bf(Lebesgue定理)$

设$E$为测度有限的可测集，${f_n}\left( x \right)$为$E$上的可测函数列，若${f_n}\left( x \right)$在$E$上几乎处处收敛于$f(x)$，则${f_n}\left( x \right)$在$E$上依测度收敛于$f(x)$

方法一  方法二

$\bf(Riesz定理)$

设${f_n}\left( x \right)$为$E$上的可测函数列，若${f_n}\left( x \right)$在$E$上依测度收敛于$f(x)$，则存在子列$\left\{ {{f_{{n_i}}}\left( x \right)} \right\}$在$E$上几乎处处收敛于$f(x)$

方法一  方法二

$\bf(Lusin定理)$

设$f\left( x \right)$是可测集$E$上几乎处处有限的可测函数，则对任给$\delta  > 0$，存在闭集$F \subset E$，使得$m\left( {E\backslash F} \right) < \delta $，且$f\left( x \right)$在$F$上连续

方法一  方法二

$\bf(Lebesgue控制收敛定理)$

设${f_n}\left( x \right)$为$E$上的可测函数列，$F(x)$为${f_n}\left( x \right)$的控制函数且可积，若${f_n}\left( x \right)$在$E$上几乎处处收敛于$f(x)$，则$f(x)$在$E$上可积，且\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_E {{f_n}\left( x \right)dx}  = \int_E {f\left( x \right)dx} \]

方法一  方法二

$\bf(Levi引理)$设${f_n}\left( x \right)$为$E$上单调递增的非负可测函数列，若${f_n}\left( x \right)$在$E$上几乎处处收敛于$f(x)$，则\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_E {{f_n}\left( x \right)dx}  = \int_E {f\left( x \right)dx} \]

方法一  方法二

$\bf(Fatou引理)$设${f_n}\left( x \right)$为$E$上的非负可测函数列，则\[\int_E {\mathop {\lim }\limits_{\overline {n \to \infty } } {f_n}\left( x \right)dx}  \le \mathop {\lim }\limits_{\overline {n \to \infty } } \int_E {{f_n}\left( x \right)dx} \]

方法一  方法二

$\bf()$

应用

$\bf(连续函数逼近可积函数)$设$f$是$\left[ {a,b} \right]$上的可积函数，则对任意的$\varepsilon  > 0$，存在$\left[ {a,b} \right]$上连续函数$\varphi $，使得\[\int_a^b {\left| {f\left( x \right) - \varphi \left( x \right)} \right|dx}  < \varepsilon \]

方法一  方法二

$\bf()$