关于高等代数的数学竞赛题

$\bf命题：$设$L$是${F^{2 \times 2}}$的可逆线性变换，且对任意的幂等阵${A^2} = A \in {F^{2 \times 2}}$均有${\left[ {L\left( A \right)} \right]^2} = L\left( A \right)$为幂等阵，试刻画$L$的形式

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$\bf命题：$设$n$阶对称阵$A$是正定的，去掉方阵$A$的第$i$行第$i$列的子矩阵记为$A_i$，记$Q\left( x \right) = xA{x^T},x \in {R^n}$，则$Q(x)$在${x_i}=1$条件下的最小值为$\frac{{\det A}}{{\det {A_i}}}$，其中$x = \left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right)$

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$\bf命题：$

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