关于不变子空间与特征子空间的专题讨论

不变子空间

$\bf命题：$设$\sigma $为欧氏空间$V$的对称变换，则$\sigma $的不变子空间$W$的正交补也是$\sigma $的不变子空间

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$\bf命题：$设$\sigma $为$n$维欧氏空间$V$的正交变换，则$\sigma $的不变子空间$W$的正交补${W^ \bot }$也是$\sigma $的不变子空间，且$W$与${W^ \bot }$均为${\sigma ^{ - 1}}$的不变子空间

参考答案

$\bf命题：$$\sigma  \in L\left( {V,n,F} \right)$，$\sigma$有$n$个不同特征值${\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _n}$，而$W$是$\sigma$的一个$r$维不变子空间，则$\sigma$在$W$上的限制$\sigma {|_W}$有$r$个不同特征值，并且为${\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _n}$中的$r$个

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$\bf命题：$设$T$为有限维线性空间$V$的线性变换，$W$为$V$的$T-$不变子空间，则$T|_{W}$最小多项式整除$T$的最小多项式

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$\bf命题：$设$\sigma  \in L\left( {V,n,F} \right)$，$f\left( \lambda  \right)$为$\sigma $的特征多项式，则$f\left( \lambda  \right)$在数域$F$上不可约的充要条件是$V$无关于$\sigma $的非平凡不变子空间

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$\bf命题：$设$\sigma $是$n$维线性空间$V$的可对角化的线性变换，$W$是$\sigma $的不变子空间，则

   $(1)$存在$\sigma $的不变子空间$W'$，使得$V=W\oplus W’$

   $(2)$设$\sigma|W$是$\sigma $在$W$上的限制线性变换，则$\sigma|W$可对角化

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$\bf命题：$设$f(x)$为数域$F$上的线性空间$V$的线性变换$\sigma $的最小多项式，$f\left( x \right) = p\left( x \right)q\left( x \right)$，其中$p\left( x \right)q\left( x \right)$为数域$F$上的不同的不可约多项式，则存在$\sigma $的不变子空间${V_1},{V_2}$，使得$V = {V_1} \oplus {V_2}$，且$\sigma {|_{{V_1}}}$的最小多项式为$p(x)$，$\sigma {|_{{V_2}}}$的最小多项式为$q(x)$

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$\bf命题：$设$\sigma  \in L\left( {V,n,F} \right)$，${\lambda _1},{\lambda _2}, \cdots ,{\lambda _s}$是$\sigma$的互不相同的特征值，且\[V = {V_{{\lambda _1}}} \oplus {V_{{\lambda _2}}} \oplus  \cdots  \oplus {V_{{\lambda _s}}}\]$W$是$\sigma$的不变子空间，则

   $(1)$$W = \left( {W \cap {V_{{\lambda _1}}}} \right) \oplus \left( {W \cap {V_{{\lambda _2}}}} \right) \oplus  \cdots  \oplus \left( {W \cap {V_{{\lambda _s}}}} \right)$

   $(2)$$W$的每一个向量$\eta $可唯一表示为$\eta  = {\xi _1} + {\xi _2} +  \cdots  + {\xi _s}$，其中${\xi _i} \in {V_{{\lambda _i}}} \cap W,i = 1,2, \cdots ,s$

   $(3)$若$\sigma$有$n$个互异的特征根，求出$\sigma$的所有不变子空间

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$\bf命题：$设$\sigma$是$n$维线性空间$V$的一个线性变换，$V$有由$\sigma$的特征向量构成的基，证明：$V$的任意非零的$\sigma$不变子空间$W$必有由$\sigma$的特征向量构成的基

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$\bf命题：$

$\bf(10中科院六)$设$\sigma$为$n(n \geqslant 1)$维实线性空间$V$的线性变换，证明：$\sigma$至少有一个维数为1或2的不变子空间

特征子空间

$\bf命题：$设$A$为$n$阶矩阵，若存在$n$维列向量$\alpha $，使得$\alpha ,A\alpha , \cdots ,{A^{n - 1}}\alpha $线性无关，则$A$的特征子空间都是一维的

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$\bf命题：$

附录(不变子空间)

$\bf命题：$设$\sigma$为复线性空间$V$的线性变换，证明：$\sigma$相似于对角阵充要条件是对任意的$\sigma$不变子空间$U$，都有$\sigma$不变子空间$W$，使得$V = U \oplus W$

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$\bf命题：$