关于幂零阵与秩1阵的专题讨论
幂零阵
$\bf命题：$设$A,B \in {M_n}\left( F \right)$，若$AB = BA$，则当$B$为幂零阵时，有$\left| {A + B} \right| = \left| A \right|$
$\bf命题：$设$A \in {M_n}\left( F \right)$，且${A^{n - 1}} \ne 0,{A^n} = 0$，则不存在$X \in {M_n}\left( F \right)$，使得${X^2} = A$
$\bf命题：$设$A = {\left( {{a_{ij}}} \right)_{n \times n}}$为幂零阵，且${a_{12}} \ne 0,{a_{13}} = 0,{a_{22}} = 0,{a_{23}} \ne 0$，证明：不存在矩阵$B$，使得${B^{n - 1}} = A$
$\bf命题：$设$\sigma$为$n$维线性空间$V$的线性变换，若$Im\sigma=Ker\sigma$，求$V$的一组基，使得$\sigma$在该基下的矩阵有简单形状
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$\bf(11南航六)$设$\sigma$为$n$维线性空间$V$上的线性变换，$\sigma$满足${\sigma ^{k - 1}} \ne 0,{\sigma ^k} = 0$，其中$k\geqslant 2$是正整数，证明：
(1)$\sigma$在$V$的任何一组基下的矩阵不可能是对角阵
(2)若$\sigma$的秩为$r$，则$k \leqslant r + 1$
(3)若$k = n$，则$\sigma$在$V$的某组基下的矩阵为$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{}&{}&{}&{} \\ 1&0&{}&{}&{} \\ {}&1& \ddots &{}&{} \\ {}&{}& \ddots & \ddots &{} \\ {}&{}&{}&1&0 \end{array}} \right)$
$\bf(10南开九)$设$V$为$n$维复线性空间，${\text{End}}\left( V \right)$为$V$上所有线性变换构成的线性空间，又$A,B$为$V$的子空间，$A \subset B$，令\[M = \left\{ {x \in {\text{End}}\left( V \right)|xy - yx \in A,\forall y \in B} \right\}\]若${x_0} \in M$满足$tr\left( {{x_0}y} \right) = 0,\forall y \in M$，证明：$x_0$必为幂零线性变换
秩1阵
$\bf命题：$设实矩阵$A = {\left( {{a_1}, \cdots ,{a_n}} \right)^T}\left( {{a_1}, \cdots ,{a_n}} \right)$，且$\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}^2} = 1$，证明：$\left| {E - 2A} \right| = - 1$
$\bf命题：$设$V$为数域$P$上的$n$维线性空间，$\mathcal{A}$为$V$上的线性变换，且$r\left( {\cal A} \right) = 1$，证明：若$\mathcal{A}$不可对角化，则必是幂零的
$\bf命题：$设$A,B$为$n$阶方阵，且$r(AB-BA)=1$，则$A,B$可同时上三角化
$\bf命题：$证明$X=XJ+JX$只有零解，其中$X,J$均为$n$阶方阵，且$J$的所有元素为$1$
$\bf(12燕山大学)$若单位列向量$\alpha ,\beta \in {R^n}$，且${\alpha ^T}\beta = 0$，则矩阵$\alpha {\beta ^T} + \beta {\alpha ^T}$相似于对角阵$diag(1, - 1,0, \cdots ,0)$
$\bf(12华科五)$设$A$的所有元素为$1$，求$A$的特征多项式与最小多项式，并证明存在可逆阵$P$，使得${P^{ - 1}}AP$为对角阵
$\bf(10华科六)$设在${R^n}$空间中，已知线性变换$T$在任一基${e_i}$下的坐标均为${\left( {1,1, \cdots ,1} \right)^\prime }$，其中${e_i}$为单位阵的第$i$列的列向量，求$T$的特征值，并证明存在${R^n}$中的一组标准正交基，使得$T$在这组基下的矩阵为对角阵
$\bf(11华南理工七)$用$J$表示元素全为$1$的$n$阶矩阵$\left( {n \ge 2} \right)$，设$f\left( x \right) = a + bx$是有理数域$Q$上的一元多项式，令$A=f(J)$
$(1)$求$J$的全部特征值与特征向量
$(2)$求$A$的所有特征子空间
$(3)$$A$是否可对角化？如果可对角化，求$Q$上的一个可逆阵$P$，使得${P^{ - 1}}AP$为对角阵，并写出这个对角阵
附录1(幂零阵)
$\bf命题1：$$A$为幂零阵当且仅当$A$的特征值全为$0$
$\bf命题2：$设$A$为$n$阶幂零阵，则$\left| {E + A} \right| = 1$
$\bf命题3：$设$A \in {M_n}\left( F \right)$，且对任意$k \in {Z^ + }$，有$tr\left( {{A^k}} \right) = 0$，则$A$为幂零阵
$\bf命题4：$
附录2(秩1阵)
$\bf命题1：$$n$阶矩阵$A$的秩为$1$的充要条件是存在非零列向量$\alpha ,\beta $，使得$A = \alpha \beta '$
$\bf命题2：$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量，且$A = \alpha \beta '$，则${A^2} = tr\left( A \right) \cdot A$，进而${A^k} = tr{\left( A \right)^{k -1}} \cdot A$
$\bf命题3：$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量，且$A = \alpha \beta '$，求$A$的特征值与特征向量
$\bf命题4：$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量，且$A = \alpha \beta '$，求$A$的最小多项式
$\bf命题5：$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量，且$A = \alpha \beta '$，则$A$相似于对角阵的充要条件是$tr\left( A \right) \ne 0$
$\bf命题6：$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量，且$A = \alpha \beta '$，若$tr(A)=0$，则$A$为幂零阵
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$\bf命题7：$设$\alpha ,\beta $为$n$维非零列向量，且$A = \alpha \beta '$，求$A$的$Jordan$标准形
