关于核空间与像空间的专题讨论

$\bf命题：$设${W_1},{W_2}$是线性空间$V$的任意两个子空间，则

$(1)$${W_1}$一定是$V$的某个线性变换的核

$(2)$${W_1}$一定是$V$的某个线性变换的像

$(3)$若$dim{W_1}{\rm{ + }}dim{W_2}{\rm{ = }}n$，则一定存在$\sigma \in L\left( V \right)$，使得${W_1}{\rm{ = }}Ker\left( \sigma \right),{W_2}{\rm{ = }}Im\left( \sigma \right)$

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$\bf命题：$设${\sigma _1},{\sigma _2} \in L\left( {V,n,F} \right)$，则$Ker{\sigma _1} \subseteq Ker{\sigma _2}$当且仅当存在线性变换$\sigma $，使得${\sigma _2} = \sigma {\sigma _1}$.若$Ker{\sigma _1} = Ker{\sigma _2}$，则$\sigma $为可逆线性变换

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$\bf命题：$设${\sigma _1},{\sigma _2} \in L\left( {V,n,F} \right)$，则$Im{\sigma _1} \subseteq Im{\sigma _2}$当且仅当存在线性变换$\sigma $，使得${\sigma _1} = {\sigma _2}\sigma $.若$Im{\sigma _1} = Im{\sigma _2}$，则$\sigma $为可逆线性变换

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$\bf命题：$设$\sigma ,\tau  \in L\left( {V,n,F} \right),{\sigma ^2} = \sigma ,{\tau ^2} = \tau $，则

   (1)$Im\sigma  = Im\tau  \Leftrightarrow \sigma \tau  = \tau ,\tau \sigma  = \sigma $

   (2)$Ker\sigma  = Ker\tau  \Leftrightarrow \sigma \tau  = \sigma ,\tau \sigma  = \tau $

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$\bf命题：$