关于矩阵的迹的专题讨论

$\bf命题：$设$A $为$n$阶实矩阵，且${A^2} = AA'$，则$A $为实对称矩阵

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$\bf命题：$证明：不存在正交阵$A,B$，使得${A^2} = AB + {B^2}$

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$\bf命题：$设$A,B$均为$n$阶复方阵，${A^2} + {B^2} = 2AB$，证明：

$(1)$$AB-BA$不可逆   $(2)$若$r(A-B)=1$，则$AB=BA$

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$\bf命题：$

$\bf命题：$设$f:{R^{n \times n}} \to R$是${R^{n \times n}}$到实数域$R$的线性映射

$(1)$给出${R^{n \times n}}$的一个基，使得${R^{n \times n}}$中的任一矩阵$A$在这个基下的坐标恰好是$A$的元素

$(2)$证明：存在唯一的$C \in {R^{n \times n}}$，使得$f\left( A \right) = tr\left( {AC} \right),\forall A \in {R^{n \times n}}$

$(3)$证明：若对任意$A,B \in {R^{n \times n}}$，有$f\left( {AB} \right) = f\left( {BA} \right)$，则存在$\lambda  \in R$，使得$f\left( A \right) = \lambda tr\left( A \right),\forall A \in {R^{n \times n}}$

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