最大公约数-辗转相除及其证明

递归写法

int gcd(int a,int b){
　　return (b==0?a:gcd(b,a%b));
}

 

非递归写法

int gcd(int a,int b){
    int c;
    while(b){
        c=a;
        a=b;
        b=c%b
    }
    return a;
}

 

这个算法的意思也就是一句话，两个数的最大公约数就等于其中一个数和两数之差的最大公约数（取余也就是多减个几次，本质相同）

下面进行一个简单的证明

 

求  a    b   两数的最大公约数

 

对于任意一个公约数d

假设a>b，小于的话就交换

a/b=k....x，商k，余数x

也就是a=b*k+x

a=md;

b=nd;

x=a-b*k=(m-n)d   也是d的倍数

意思是，a   b  的公因数，就是b  x的公因数

 

下面证明b  x的公因数也是a   b的公因数

对于任意一个b   x  的公因数e

b是e的倍数，x是e的倍数

那么k个b再加x也是e的倍数，k*b+x=a也是e的倍数

b  x的公因数就是a   b 的公因数

即，b  x  和  a   b的公因数集合相同，当然最大的也相同

 

下面再给另外一个证法

求  a    b   两数的最大公约数

 

设a  b两数的最大公约数为d

假设a>b，小于的话就交换

a/b=k....x，商k，余数x

也就是a=b*k+x

a=md;

b=nd;

x=a-b*k=(m-n)d   也是d的倍数

总结下，a  b 的最大公约数，为b   x的约数（这里还不是最大）

 

设b  x的最大公约数为e

那么对于b  x的公约数中，e大于等于d

 

b是e的倍数，x是e的倍数

那么k个b再加x也是e的倍数，k*b+x=a也是e的倍数

b  x的最大公约数e，是a的约数（也得不到最大）

那么对于a  b的公约数中，e小于等于d

好了，e就等于d