2646. 最小化旅行的价格总和

题目链接：2646. 最小化旅行的价格总和

方法一：dfs + 树形dp

解题思路

• 先不考虑哪些节点的代价需要减半：
  • 由题可知，本题的数据结构是一个图存储的无根树，那么表示从 $start$ 到 $end$ 之间只有唯一的一条路线，那么我们对于 $trips$ 中的每个询问，通过 $dfs$ 找寻从 $st$ 到 $ed$ 过程中走过的节点，最终计算出每个节点需要经过的次数，然后乘以对应的 $price$ 得到当前节点所需要的总代价。
• 接下来考虑将哪些非相邻节点的价格减半：
  • 为了使得最终代价最小，那么应该选择其中所占代价最大的方案，并将其对应的节点价格减半；
  • 那么问题就变成了选择非相邻节点构成的集合的最大代价；
  • 即典型的树形 $dp$ 问题：
    • 当前节点由两种选择，$select$，$no\mathrm{\_}select$，当前节点的值可以由其所有非自身的邻接点转移过来；
    • select = val + sum(next.second)，当前节点选择后，邻接点不能选择；
    • no_select = sum(max(next.first, next.second))，当前节点不选择，邻接点可选可不选，取其中最大值；
    • 返回 $\{select,no\mathrm{\_}select\}$；
    • 递归边界：由于每次都是找的邻接点，当都遍历完时，递归会自动结束。

代码

class Solution {
public:
    int minimumTotalPrice(int n, vector<vector<int>>& edges, vector<int>& price, vector<vector<int>>& trips) {
        vector<vector<int>> adj(n);
        vector<int> w(n), path;
        for (auto &e : edges) {
            adj[e[0]].push_back(e[1]);
            adj[e[1]].push_back(e[0]);
        }
        function<void(int, int, int)> dfs1 = [&](int u, int fa, int ed) -> void {
            if (u == ed) {
                for (auto &v : path) w[v] ++ ;
                w[u] ++ ;
                return ;
            }
            path.push_back(u);
            for (auto &v : adj[u]) 
                if (v != fa) dfs1(v, u, ed);
            path.pop_back();
        };
        for (int i = 0; i < trips.size(); i ++ ) {
            int st = trips[i][0], ed = trips[i][1];
            dfs1(st, -1, ed);
        }
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
            w[i] = w[i] * price[i];
            sum += w[i];
        }
        function<pair<int, int>(int, int)> dfs2 = [&](int u, int fa) -> pair<int, int> {
            int select = w[u], not_select = 0;
            pair<int, int> next;
            for (auto &v : adj[u])
                if (v != fa) {
                    next = dfs2(v, u);
                    select += next.second;
                    not_select += max(next.first, next.second); 
                }
            return {select, not_select};
        };
        pair<int, int> ans = dfs2(0, -1);
        return sum - max(ans.first, ans.second) / 2;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：对于 $trips$ 的处理为 $O(nm)$，$m=trips.size()$；树形 $dp$ 为 $O(n)$；
空间复杂度：$O(n)$。

方法二：树上差分 + LCA

待续...