质数、质因数个数和约数个数的求解
质数的判定
质数也称素数，是指只能被其自身和1整数的正整数。
那么如何判断一个数是否为质数呢？可以用所有小于该数的正整数去试着除该数，若能整数，则不是质数；若这些数都不能整除它，则该数是质数。
要求
给定一个数n，要求判定是否为质数（0，1和负数都不是质数），若是则输出yes，否则输出no
代码
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
/*
* 判断一个数是否是质数（素数）
* */
bool Judge(int n){
if(n<2){ //小于2的数都不是质数
return false;
}
int bound = sqrt(n); // 代码优化，只需循环到根号n即可
for (int i = 2; i <= bound; ++i) {
if (n % i == 0) { //如果能被整除则不是质数，返回false
return false;
}
}
return true;
}
int main(){
int n;
while (scanf("%d",&n)!=EOF){
if(Judge(n)){
printf("yes\n");
} else {
printf("no\n");
}
}
return 0;
}
质数筛法
知道如何判定一个质数后，那么如何找出0~100000之间的所有质数呢？依次枚举每个数，然后按照上文中的判断方法确定其是否为质数。这样做是可行的，但是时间复杂度太高了，这里有一种更好的方法，那就是质数筛法。
找到一个质数，它的所有倍数均标记为非质数；这样，当遍历到一个数时，若它未被任何小于它的数标记为非质数，则确定其为质数
例如：
有这样20个数（粗体为质数）：
-
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20 （初始全部为标记为质数）
-
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20 （0，1为非质数排除）
-
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20（2是质数，它的所有倍数均为非质数）
-
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20（3是质数，它的所有倍数均为非质数）
这样很快就算出来[0,20]之间的质数了
要求
输出第k个质数（k<10000），如k=3时，输出5
代码
//
// Created by lxy on 2022/3/15.
//
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 10;
vector<int> prime; //保存质数
bool isPrime[MAXN]; //用来判断该数是否为质数
/*
* 质数筛法
* */
void Initial(){
fill(isPrime, isPrime + MAXN, true);// 先假设所有数是质数
isPrime[0] = false; // 0不是质数
isPrime[1] = false; // 1不是质数
for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
if (!isPrime[i]) { // 不是质数就继续
continue;
}
prime.push_back(i);//是质数就添加到向量中
if (i > MAXN / i) { // 等价于i*i>MAXN预防i*i越界int，提前判断一下
continue;
}
for (int j = i*i; j < MAXN; j+=i) { //质数的倍数肯定是非质数
isPrime[j] = false;
}
}
}
int main(){
Initial();
int k;
while (scanf("%d", &k) != EOF) {
printf("%d\n", prime[k - 1]);
}
return 0;
}
质因子分解
什么是因子分解呢？
30=2 * 15
=5 * 6
=2 * 3 * 5 (所有因子都是质数时就称质因子分解)
通常使用短除法来求质因子：一个数不断的除以质数，直到等于1为止。例如：
120 / 2 = 60 (从第一个质数开始整除)
60 / 2 = 30
30 / 2 = 15
15 / 3 = 5 （此时2无法整除了，换下一个质数3）
5 / 5 = 1 （此时3也无法整除了，换下一个质数5）
所以\(120=2^3*3*5\)
\(对一个数x分解质因数就是确定质数p_1,p_2,···p_n，使其满足x=p_1^{e_1}*p_2^{e_2}*···*p_n^{e_n}\)
要求
求正整数N(1<N<10^9)的质因子的个数，相同的质因子需要重复计算。例如120=2 * 2 * 2 * 3 * 5，有5个质因子
代码
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 4e4;
vector<int> prime;
bool isPrime[MAXN];
/*
* 质数筛法
* */
void Initial(){
fill(isPrime, isPrime + MAXN, true);// 先假设所有数是质数
isPrime[0] = false;
isPrime[1] = false;
for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
if (!isPrime[i]) { // 不是质数就继续
continue;
}
prime.push_back(i);//是质数就添加到向量中
if (i > MAXN / i) { // 预防i*i越界，提前判断一下
continue;
}
for (int j = i*i; j < MAXN; j+=i) {
isPrime[j] = false;
}
}
}
/*
* 求质因子个数
* */
int NumberOfPrimeFactors(int number){
int answer = 0;
for (int i = 0; i < prime.size(); ++i) {
int factor = prime[i];
if (number < factor) {
break;
}
int exponent = 0; //记录被除以的次数，即它的指数
while (number % factor == 0) { //不停的除以这个质数，直到不能整除为止
exponent++;
number /= factor;
}
answer += exponent;
}
if (number > 1) {// 还有一个大于根号number质因子
answer++;
}
return answer;
}
int main(){
Initial();
int number;
while (scanf("%d", &number) != EOF) {
printf("%d\n", NumberOfPrimeFactors(number));
}
return 0;
}
约数的个数
120=2^3 * 3 * 5
120约数的个数有（3+1） * （1+1）*（1+1）= 16
代码
/*
* 求约数的个数
* */
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 4e4;
vector<int> prime;
bool isPrime[MAXN];
/*
* 质数筛法
* */
void Initial(){
fill(isPrime, isPrime + MAXN, true);// 先假设所有数是质数
isPrime[0] = false;
isPrime[1] = false;
for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
if (!isPrime[i]) { // 不是质数就继续
continue;
}
prime.push_back(i);//是质数就添加到向量中
if (i > MAXN / i) { // 预防i*i越界，提前判断一下
continue;
}
for (int j = i*i; j < MAXN; j+=i) {
isPrime[j] = false;
}
}
}
/*
* 求约数个数
* */
int NumberOfFactors(int number){
int answer = 1;
for (int i = 0; i < prime.size(); ++i) {
int factor = prime[i];
if (number < factor) {
break;
}
int exponent = 0; //记录被除以的次数，即它的指数
while (number % factor == 0) { //不停的除以这个质数，知道除不动
exponent++;
number /= factor;
}
answer *= exponent + 1;
}
if (number > 1) {
answer *= 2;
}
return answer;
}
int main(){
Initial();
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%d\n", NumberOfFactors(n));
return 0;
}
