P4655 [CEOI2017] Building Bridges 题解

P4655

分析

发现如果在 $i,j$ 之间建桥，那么 $(i,j)$ 内的所有柱子都是无用的，代价还需加上 $(i,j)$ 内的所有拆除代价。设 $dp_i$ 为从 $1$ 走到 $i$ 的最小代价，于是转移方程就呼之欲出了：

d p_{i} = {min}_{j = 1}^{i - 1} {d p_{j} + (h_{i} - h_{j})^{2} + s_{i - 1} - s_{j}}

$dp_i=\min\limits_{j=1}^{i-1}\{dp_j+(h_i-h_j)^2+s_{i-1}-s_j\}$

，其中 $s_i$ 表示拆除代价的前缀和。发现如果枚举每一个 $j$ 时间复杂度是 $\mathcal{O}(n^2)$ ，显然会 TLE，因此考虑优化。发现这个式子是很典型的斜率优化形式，可以变形为：

d p_{i} = {min}_{j = 1}^{i - 1} {d p_{j} - 2 h_{i} h_{j} + h_{j}^{2} - s_{j}} + h_{i}^{2} + s_{i - 1}

$dp_i=\min\limits_{j=1}^{i-1}\{dp_j-2h_ih_j+h_j^2-s_j\}+h_i^2+s_{i-1}$

然而发现每次查询的斜率并不是有序的，因此不能直接单调队列维护凸包。发现数据范围只到 $10^5$ ，用李超线段树可以方便的求出当 $x=h_i$ 时最小的 $y$ ，于是就可以做了。时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$ 。

核心代码

qread(n);int i,j,mx=0;for(i=1;i<=n;i++) qread(h[i]),mx=qmax(mx,h[i]);
build(1,0,mx);for(i=1;i<=n;i++) qread(w[i]),w[i]+=w[i-1];
dp[1]=0;upd(1,0,mx,Line{-2*h[1],h[1]*h[1]-w[1]});
for(i=2;i<=n;i++){
    dp[i]=que(1,0,mx,h[i])+h[i]*h[i]+w[i-1];
    upd(1,0,mx,Line{-2*h[i],dp[i]+h[i]*h[i]-w[i]});
}printf("%lld\n",dp[n]);