常用组合恒等式

常用组合恒等式

1. 恒等式 1

$${n\choose k}={n\choose n-k} \\ $$

2. 恒等式 2

$${n\choose k}=\frac{n}{k}{n-1\choose k-1} \\ $$

3. 杨辉三角

$${n\choose k}={n-1\choose k}+{n-1\choose k-1} \\ $$

4. 简单和

$$\sum\limits_{k=1}^n {n\choose k}=2^n \\ $$

5. 交错和

$$\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}=0 \\ $$

6. 变下项求和 1

$$\sum\limits_{k=0}^n k{n\choose k}=n2^{n-1} \\ $$

7. 变下项求和 2

$$\sum\limits_{k=0}^n k^2{n\choose k}=n(n+1)2^{n-2} \\ $$

8. 变上项求和

$$\sum\limits_{i=0}^n {i\choose k}={n+1\choose k+1} \\ $$

9. 范德蒙德卷积

$$\sum\limits_{i=0}^k{n\choose i}{m\choose k-i}={n+m\choose k}$$

10. 恒等式 10

$${n\choose m}{m\choose k}={n\choose k}{n-m\choose m-k}$$