Codeforces *2400 做题记录

CF1715E 题解

题意

一个带边权无向图，可以沿着边走，需要边权的花费或从任意点 \(u\) 飞到 \(v\)，需要 \((u-v)^2\) 的花费。求从点 \(1\) 到所有 \(i\) 的最少花费。最多飞 \(k\) 次。

分析

一眼最短路 + dp。

发现 \(k\) 很小，可以枚举飞的次数，对于点 \(u\)，可以是走到 \(u\)，这种情况可以用最短路更新答案；也可以是飞到 \(u\)，此时可以 dp，\(dp_i\) 表示从 \(1\) 到 \(i\) 最小花费，转移方程很显然：

\[dp_i=\min\limits_{t=1}^n(dis_t+(i-t)^2) \]

，其中 \(dis_i\) 表示上个 \(k\) 算出的 \(1\) 到 \(i\) 最少花费。此时最外层循环 \(k\)，中层循环 \(i\)，内层循环 \(t\)，时间复杂度 \(\mathcal{O}(kn^2)\)，发现会 T，考虑优化。

发现这个式子是个典型的斜率优化形式，可以变形成：

\[dp_i=\min\limits_{t=1}^n(dis_t+(i-t)^2) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\min\limits_{t=1}^n(dis_t+t^2+it)+i^2 \]

也就转化成了求 \(x=i\) 时所有直线 \(y=tx+(dis_t+t^2)\) 的最小值加上 \(i^2\) 的值。可以用李超线段树方便地求出。

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CF1073E

题意

求 \([l,r]\) 内包含数码个数不超过 \(k\) 的数之和，\(l\leq r\leq10^{18},k\leq 10\)。

分析

数位 dp。

设计状态 \(dp_{i,j}\)，\(dp_{i,j,0}\) 表示到第 \(i\) 位，包含的数码集为 \(j\) 时的数的个数，\(dp_{i,j,1}\) 表示数的和。

转移时将这位的 dp 值加上下一位的 dp 值，再加上这一位枚举的数乘上位值。具体见代码。

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CF946G

题意

定义一个序列 A 是好的，当 A 满足从 A 中去掉一个位置之后剩下的序列形成了一个严格递增序列。 给出一个长度为 \(n\) 的序列，问最小需要改动多少个位置的值，使得这个序列变成好的。

分析

首先可以发现将一个序列 \(a_i\) 变为严格递增的修改次数等于序列 \(b_i=a_i-i\) 的最长不下降子序列长度。

证明：

一个序列 \(a_i\) 严格递增当且仅当对于任意 \(i,j (i<j)\)，满足 \(a_j-a_i\leq j-i\)，因为这样才能保证在 \([i,j]\) 内的两数间差大于 \(1\)。

于是问题就转化为求序列 \(b\) 去掉一个后的最长不降子序列长度。

\(dp_{i,0/1}\) 表示前 \(i\) 个数中扔掉一个/不扔的最长不降子序列长度。

首先考虑不新扔一个时的转移，有

\[dp_{i,0}=\max\limits_{j<i}\{dp_{j,0}\}+1(a_j-a_i\leq j-i),\\dp_{i,1}=\max\limits_{j<i}\{dp_{j,1}\}+1(a_j-a_i\leq j-i) \]

若新扔一个，可以发现扔的元素后面的下标都减 \(1\) 则有

\[dp_{i,1}=\max\limits_{j<i-1}\{dp_{j,0}\}+1(a_j-a_i\leq j-i+1) \]

，树状数组维护即可。

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