CF1083E The Fair Nut and Rectangles 题解

一个坐标系中

n

$n$ 个矩形，每个矩形左下角在

(0, 0)

$(0,0)$ ，右上角在

(x_{i}, y_{i})

$(x_i,y_i)$ ，有权值

a_{i}

$a_i$ ，保证任意两个矩形不出现包含关系，让选出若干个矩形，求矩形面积并减权值和的最大值。

CF1083E

题意

一个坐标系中 $n$ 个矩形，每个矩形左下角在 $(0,0)$ ，右上角在 $(x_i,y_i)$ ，有权值 $a_i$ ，保证任意两个矩形不出现包含关系，让选出若干个矩形，求矩形面积并减权值和的最大值。

分析

由于保证不出现包含关系，因此将矩形按左右距从小到大排，发现如果一个矩形的上下距不比前面的所有矩形上下距长，而它左右距也一定比前面的所有左右距短，那么前面一定存在一个矩形完全包含它，与题意矛盾。因此矩形的上下距一定单调递增。

设 $dp_i$ 表示以 $i$ 为结尾的矩形序列面积并减权值和的最大值。从 $dp_j$ 转移多出来的面积并是 $(y_i-y_j)x_i$ ，因此转移方程为：

d p_{i} = d p_{j} + (y_{i} - y_{j}) x_{i} - w_{i}

$dp_i=dp_j+(y_i-y_j)x_i-w_i$

斜率优化即可。

核心代码

struct node{
    int x,y,w;
    bool operator < (const node &o)const{return y<o.y;}
}a[MAXN];
double gety(int i){return dp[i];}double getx(int i){return a[i].y;}
double slope(int i,int j){return (gety(j)-gety(i))/(getx(j)-getx(i));}
signed main(){
    qread(n);int i,j;for(i=1;i<=n;i++) qread(a[i].x,a[i].y,a[i].w);sort(a+1,a+1+n);h=t=1;
    for(i=1;i<=n;i++){
        while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])>=a[i].x) h++;
        int j=q[h];dp[i]=dp[j]+(a[i].y-a[j].y)*a[i].x-a[i].w;
        while(h<t&&slope(q[t-1],q[t])<=slope(q[t],i)) t--;q[++t]=i;
        ans=qmax(ans,dp[i]);    
    }printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}