数学问题小结

    这几天，学习并完成了数学类的一些知识和题目，包括素数，期望，gcd等等。。。。。。进行一个简单的总结。

 

首先是素数。当题目中的数据量比较小时，我们可以用最简单的方法去一一搜素判断该数是否是一个素数。判断的方法则是让它与比他小的数一一作除法，若能够被整除，则是合数，否则是质数。为了降低时间复杂度，我们可以只判断2到这个数的平方根之间的数，因为能够被这个数整除的数一定小于等于这个数的平方根。代码如下：

int isprime(long long n)
{
    long long i;
    if (n==2)
    {
        return 1;
    }
    for (i=2;i<=sqrt(n);i++)
    {
        if (n%i==0)
        {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

  用这种方法，虽然可以准确的找出素数，但如果题目中的数据量很大，我们就要考虑另外一种方法了，提前将所有的素数存放在一个地方，当我们判断的时候，只需要判断我们是否存放这个数即可。这样，我们就不用每次都进行判断，而是只需判断查找一次，大大节省了时间。那么，我们怎样寻找所有的素数呢，我们可以先假定所有的数都是质数，然后从2开始，将2的所有倍数都标记为合数，之后是3，以此类推。。。。。。。为了避免重复标记，节约时间，我们通常采用如下的快速筛素数的方法：若当前标记的是i的倍数，如果i是前面已经标记了的数的倍数，便不再进行标记。代码如下：

#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long N=10000100; 
int prime[N]={0},num_prime=0;
bool isNotPrime[N]={true,true};
void panprime()
{
    long long i,j;
    for (i=2;i<N;i++)
    {
        if(!isNotPrime[i])
        {
            prime[num_prime++]=i;
        }
        for (j=0;j<num_prime && i*prime[j]<N ;j++)
        {
            isNotPrime[i*prime[j]]=true;
            if (!(i%prime[j]))
            {
                break;
            }

        }
    }
}

当然，如果数据比较小，还是用第一种方法吧。说不定，用第一种方法所需的时间还比第二种小哦，因为找出所有的素数也是需要时间的。。。

结论：数据量比较小的时候选方法一，数据量比较大（需判断成千上万个数）时选方法二！

 

之后是GCD，用辗转相除法寻找两个数的最大公因数。是更好的选择，比传统的逐步寻找法快得多。

 

int gcd(int a,int b)
{
    if (b==0)
    {
        return a;
    }
    gcd(b,a%b);
}

 

 

 

最后，上一道题吧：http://www.fjutacm.com/Problem.jsp?pid=2519

  其实，这个题就是一个典型的找最大公因数的题，双方拥有的机会就是最大公因数到最大的数之间的个数。解决代码如下：

#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long gcd(long a,long b)
{
    if (b==0)
    {
        return a;
    }
    gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    long a[105];
    long n,i,j;
    long maxA=0;
    scanf("%ld",&n);
    for (i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%ld",&a[i]);
        maxA=max(maxA,a[i]);
    }


    long min=gcd(a[0],a[1]);
    
    for(i=0;i<n;i++)
      for (j=i+1;j<n;j++)
      {
          long ans;
          
         ans=gcd(a[i],a[j]);
         if (min>ans)
         {
             min=ans;
         }
      }

    

      long key;
      key=maxA/min;
      key=key-n;

      if (key%2==0)
      {
          printf("Bob\n");
      }
      else
      {
          printf("Alice\n");
      }
    
    return 0;
 } 

 

再来看看这个题：https://atcoder.jp/contests/abc182/tasks/abc182_c?lang=en

这个题的意思就是要寻找一个数，删除其中的几个数字后，得到的数是三的倍数。因为三的倍数的判定方法就是看这个数字的和是否是三的倍数。一个数字的和就只有3种情况：刚好是3的倍数，3的倍数余1,3的倍数余2.第一种情况不用处理，输出0就行。第二种情况要小心，它有两种情况，我就是少考虑了一种，而WA了几发：第一种是可以删除一个余数为1的数，第二种是删除2个余数为2的数，因为，两个余数为2的数的和余数的和为4,4对3取余正好是1。第三种情况则是删除一个余数为2的数字或者删除两个余数为1的数字。优先考虑前面的一种方案。至于统计余数为一和余数为二的数字，我们可以利用字符串来处理每一个数字，这样，既避免了数字非常大存不下情况的发生，又可以使数字的处理更加方便快捷，代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int main()
{
    char n[20];
    gets(n);
  
    int nn=strlen(n);
    int s=0;
    int ss[4]={0},i;
    for (i=0;i<strlen(n);i++)
    {
        s=s+n[i]-48;

        if ((n[i]-48)%3==1)
        {
            ss[1]++;
        }
        if ((n[i]-48)%3==2)
        {
            ss[2]++;
        }
    }

    if (s%3==0)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    else
    {
        s=s%3;
        if (s==1)
        {
            
            if (ss[1]>=1 && (nn-1)>0)
            {
                printf("1");
                return 0;
            }
            else if (ss[2]>=2 && (nn-2)>0)
            {
                printf("2");
                return 0;
             } 
            else
            {
                printf("-1");
            }
        }
        if (s==2)
        {
            if (ss[2]>=1 && (nn-1)>0)
            {
                printf("1");
                return 0;
            }
            else if (ss[1]>=2 && (nn-2)>0)
            {
                printf("2");
                
            }
            else
            {
                printf("-1");
            }
        }
    }
    return 0;
    
}