机器学习笔记之支持向量机
一、支持向量机概述
支 持 向 量 机 （ Support Vector Machine,SVM ） 是 一 类 按 监 督 学 习 （supervised learning）方式对数据进行二元分类的广义线性分类器，其决策边界是对学习样本求解的最大边距超平面（maximum-margin hyperplane）。与逻辑回归和神经网络相比，支持向量机，在学习复杂的非线性方程时提供了一种更为清晰，更加强大的方式。
假如数据是完全的线性可分的，那么学习到的模型可以称为硬间隔支持向量机。换个说法，硬间隔指的就是完全分类准确，不能存在分类错误的情况。软间隔，就是允许一定量的样本分类错误。
硬间隔、软间隔和非线性 SVM：
1.1 算法思想
找到集合边缘上的若干数据（称为支持向量（Support Vector）），用这些点找出一个平面（称为决策面），使得支持向量到该平面的距离最大。
1.2 背景知识
任意超平面可以用下面这个线性方程来描述：
二维空间点 (𝑥, 𝑦)到直线 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0的距离公式是：
扩展到 𝑛 维空间后，点 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2… 𝑥𝑛) 到超平面$𝑤^𝑇𝑥 + 𝑏 = 0 $的距离为:
如图所示，根据支持向量的定义我们知道，支持向量到超平面的距离为 𝑑，其他点到超平面的距离大于 𝑑。每个支持向量到超平面的距离可以写为:
如图所示，根据支持向量的定义我们知道，支持向量到超平面的距离为 𝑑，其他点到超平面的距离大于 𝑑。
于是我们有这样的一个公式：
我们暂且令𝑑为 1（之所以令它等于 1，是为了方便推导和优化，且这样做对目标函数的优化没有影响），将两个方程合并，我们可以简写为:\(𝑦(𝑤^𝑇𝑥 + 𝑏) ≥ 1\)
至此我们就可以得到最大间隔超平面的上下两个超平面:
二、线性可分支持向量机
2.1 背景知识
点到面的距离公式:
支持向量机的最终目的是最大化𝑑
函数间隔：
几何间隔：当数据被正确分类时，几何间隔就是点到超平面的距离
为了求几何间隔最大，SVM基本问题可以转化为求解:
三、线性支持向量机
若数据线性不可分，则可以引入松弛变量𝜉 ≥ 0，使函数间隔加上松弛变量大于等于1 ，则目标函数：
对偶问题：
𝐶为惩罚参数， 𝐶 值越大 ，对分类的惩罚越大。跟线性可分求解的思路一致。同样这里先用拉格朗日乘子法得到拉格朗日函数，再求其对偶问题。
𝜉 为"松弛变量",即hinge损失函数。每一个样本都有一个对应的松弛变量，表征该样本不满足约束的程度。
求解原始最优化问题的解𝑤∗和𝑏∗，得到线性支持向量机.
其分离超平面为:
𝑤∗𝑇𝑥 + 𝑏∗= 0
分类决策函数为：
𝑓(𝑥) = sign (𝑤∗𝑇𝑥 + 𝑏∗)
线性可分支持向量机的解𝑤∗唯一，但𝑏∗不唯一。对偶问题是:
解出后，代入超平面模型：
𝑤∗𝑇𝑥 + 𝑏∗= 0
可得:
四、线性不可分支持向量机
4.1 核技巧
在低维空间计算获得高维空间的计算结果，满足高维，才能在高维下线性可分。 我们需要引入一个新的概念：核函数。它可以将样本从原始空间映射到一个更高维的特质空间中，使得样本在新的空间中线性可分。这样我们就可以使用原来的推导来进行计算，只是所有的推导是在新的空间，而不是在原来的空间中进行，即用核函数来替换当中的内积。
4.2 核技巧
用核函数来替换原来的内积:
即通过一个非线性转换后的两个样本间的内积。具体地，𝐾(𝑥, 𝑧)是一个核函数，或正定核，意味着存在一个从输入空间到特征空间的映射，对于任意空间输入的𝑥, 𝑧 有:
在线性支持向量机学习的对偶问题中，用核函数𝐾(𝑥, 𝑧)替代内积，求解得到的就是非线性支持向量机:
4.3 常用核函数
线性核函数:
多项式核函数:
高斯核函数:
这三个常用的核函数中,只有高斯核函数是需要调参的.
4.4 SVM的超参数
𝛾越大，支持向量越少，𝛾值越小，支持向量越多。其中 C是惩罚系数，即对误差的宽容度。 C越高，说明越不能容忍出现误差,容易过拟合。C越小，容易欠拟合。
五、总结
下面是一些SVM普遍使用的准则：
𝑛为特征数，𝑚为训练样本数。
(1)如果相较于𝑚而言，𝑛要大许多，即训练集数据量不够支持我们训练一个复杂的非线性模型，我们选用逻辑回归模型或者不带核函数的支持向量机。
(2)如果𝑛较小，而且𝑚大小中等，例如𝑛在 1-1000 之间，而𝑚在10-10000之间，使用高斯核函数的支持向量机。
(3)如果𝑛较小，而𝑚较大，例如𝑛在1-1000之间，而𝑚大于50000，则使用支持向量机会非常慢，解决方案是创造、增加更多的特征，然后使用逻辑回归或不带核函数的支持向量机。
六、参考资料
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Prof. Andrew Ng. Machine Learning. Stanford University
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《统计学习方法》，清华大学出版社，李航著，2019年出版
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《机器学习》，清华大学出版社，周志华著，2016年出版
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Christopher M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning, Springer-Verlag, 2006
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Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004
