利用数学思想解1/2/5组合问题

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华为笔试题：写一个程序, 要求功能：求出用1，2，5这三个数不同个数组合的和为100的组合个数。如：100个1是一个组合，5个1加19个5是一个组合。。。。

答案：最容易想到的算法是：

设x是1的个数，y是2的个数，z是5的个数，number是组合数

x+2*y+5*z = 100 求这个方程解的个数number

注意到0<=x<=100，0<=y<=50，0<=z=20，所以可以编程为：

number=0;

for (x=0; x<=100; x++)

for (y=0; y<=50; y++)

for (z=0; z<=20; z++)

if ((x+2*y+5*z)==100)

number++;

cout<<number<<endl;

最容易想到的是上述三重循环，循环100*50*20次，最低效的算法

事实上，这个题目是一道明显的数学问题，而不是单纯的编程问题。我的解法如下：

因为x+2y+5z=100

所以x+2y=100-5z，且z<=20 x<=100 y<=50

所以(x+2y)<=100，且(x+5z)是偶数

对z作循环（因为z的范围最小，循环优化问题，最外层循环次数要小，避免过多流水断裂），求x的可能值如下（x的取值种数就代表了最终解的个数，对于某个z，x定了后y自动确定）：

z=0, x=100, 98, 96, ... 0

z=1, x=95, 93, ..., 1

z=2, x=90, 88, ..., 0

z=3, x=85, 83, ..., 1

z=4, x=80, 78, ..., 0

......

z=19, x=5, 3, 1

z=20, x=0

因此，组合总数为100以内的偶数+95以内的奇数+90以内的偶数+...+5以内的奇数+1，

即为：

(51+48)+(46+43)+(41+38)+(36+33)+(31+28)+(26+23)+(21+18)+(16+13)+(11+8)+(6+3)+1

某个偶数m以内的偶数个数（包括0）可以表示为m/2+1=(m+2)/2

某个奇数m以内的奇数个数也可以表示为(m+2)/2

所以，求总的组合次数可以编程为：

number=0;

for (int m=0;m<=100;m+=5)

{

number+=(m+2)/2;

}

cout<<number<<endl;

这个程序，只需要循环21次, 两个变量，就可以得到答案，比上面的那个程序高效了许多倍----只是因为作了一些简单的数学分析

这再一次证明了：计算机程序=数据结构+算法，而且算法是程序的灵魂，对任何工程问题，当用软件来实现时，必须选取满足当前的资源限制，用户需求限制，开发时间限制等种种限制条件下的最优算法。而绝不能一拿到手，就立刻用最容易想到的算法编出一个程序了事——这不是一个专业的研发人员的行为。

那么，那种最容易想到的算法就完全没有用吗？不，这种算法正好可以用来验证新算法的正确性，在调试阶段，这非常有用。在调试阶段，对一些重要的需要好的算法来实现的程序，而这种好的算法又比较复杂时，同时用容易想到的算法来验证这段程序，如果两种算法得出的结果不一致（而最容易想到的算法保证是正确的），那么说明优化的算法出了问题，需要修改。

可以举例表示为：

#ifdef DEBUG // 发布版本将自动取消simple的编译，条件编译，减少代码空间

int simple();

#end if

int optimize();

......

in a function:

{

result=optimize();

ASSERT(result==simple()); // ASSERT宏只在debug版本有效，release版本其定义为空

}

这样在调试阶段，如果简单算法和优化算法的结果不一致，就会打出断言。同时，在程序的发布版本，却不会包含笨重的simple()函数。任何大型工程软件都需要预先设计良好的调试手段，而这里提到的就是一种有用的方法。

典型的类似调试手段是linux内核模块中打印信息的显示，通过全局的显示级别来控制7类消息的打印