欧拉函数

一、互质的概念

1、定义

    互质（relatively primeì）又叫互素。若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。

 

　　例如8,10的最大公因数是2，不是1，因此不是整数互质。

 

　　7,10,13的最大公因数是1，因此这是整数互质。

 

　　5和5不互质，因为5和5的公因数有1、5。

 

　　1和任何数都成倍数关系，但和任何数都互质。因为1的因数只有1，而互质数的原则是：只要两数的公因数只有1时，就说两数是互质数。1只有一个因数（所以1既不是质数（素数），也不是合数），无法再找到1和其他数的别的公因数了，所以1和任何数都互质（除0外）。

 

　　互质数的写法：如c与m互质，则写作（c,m）=1。

 

　　小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”

 

　　这里所说的“两个数”是指自然数。

 

　　“公约数只有 1”，不能误说成“没有公约数。”

2、判别方法

　　（1）两个不同的质数一定是互质数。

 

　　例如，2与7、13与19。

 

　　（2）一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。

 

　　例如，3与10、5与 26。

 

　　（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。

 

　　（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。

 

　　（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。

 

　　（6）较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。

 

　　（7）两个数都是合数（二数差又较大），较小数所有的质因数，都不是较大数的约数，这两个数是互质数。

 

　　如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。

 

　　（8）两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是较小数的约数，这两个数是互质数。如85和78。85－78=7，7不是78的约数，这两个数是互质数。

 

　　（9）两个数都是合数，较大数除以较小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是较小数的约数，这两个数是互质数。如 462与 221

 

　　462÷221=2……20，

 

　　20=2×2×5。

 

　　2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。

 

　　（10）减除法。如255与182。

 

　　255－182=73，观察知 73182。

 

　　182－（73×2）=36，显然 3673。

 

　　73－（36×2）=1，

 

　　（255，182）=1。

 

　　所以这两个数是互质数。

 

　　三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。

 

二、欧拉函数

1、基本内容

    在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。它又称为Euler's totient、function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

φ函数的值 通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3，那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4)

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

 

　　设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互

 

　　素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数

 

　　φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

 

　　欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

 

　　特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

2、证明：

   设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知，

 

　　若

 

　　n= ∏p^(α（下标p）)

 

　　p|n

 

　　则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p)

 

　　p|n p|n

 

　　例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24

 

　　与欧拉定理、费马小定理的关系

 

　　对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有

 

　　a^φ(m)≡1(mod m)

 

　　即欧拉定理

 

　　当m是质数p时，此式则为：

 

　　a^(p-1)≡1(mod m)

 

　　即费马小定理。