乘法逆元小结

• 什么是乘法逆元

当有 $a*x ≡ 1 \pmod {p}$ 时，则 $a$是模 $p$ 意义下的乘法逆元。

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费马小定理求逆元

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费马小定理

$a ≡ a^{p-1} \pmod {p}$

所以

$a^{p-2} ≡ 1 \pmod {p}$

求 $a^{p-2} \bmod p$即可。

当且仅当 $p$ 为质数且 $a,p$ 互质时可用。

int ksm(int x,int k){
	int sum=1;
	while(k){
		if(k&1) sum=sum*x%p;
		x=x*x%p; k>>=1;
	}
	return sum;
}
signed main(){
	px=read(),p=read();
	ans=ksm(x,p-2);
	return 0;
}

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扩展欧几里得求逆元

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这个方法十分容易理解，而且对于单个查找效率似乎也还不错，比后面要介绍的大部分方法都要快(尤其对于 $\bmod {p}$比较大的时候)。

这个就是利用拓欧求解 线性同余方程$a*x≡ c\pmod {b}$
的$c=1$的情况。我们就可以转化为解 $a*x + b*y = 1$ 这个方程。

void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) x = 1, y = 0;
    else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
int main() {
    ll x, y;
    Exgcd (a, p, x, y);
    x = (x % p + p) % p;
    printf ("%d\n", x); //x是a在mod p下的逆元
}

当 $a,p$ 互质时即可用。