计算几何--O(logN) 判断点在凸多边形内

二维平面内判断点是否在一个简单多边形内部，在程序设计中我们一般采用射线法，或者内角和法。

如果这个简单多边形是一个凸多边形，可以在logN的时间复杂度内判断点是否在N个顶点的凸多边形中。

如图判断点P是否在凸多边形内设凸多边形顶点保存在convex[0..n-1]中

首先必须满足向量convex[0]-P X convex[0]-convex[1]<0 convex[0]-P X convex[0]-convex[6]>0

X代表叉乘如果允许点在多边形边上 <0 >0可以改写为<=0 >=0

这样确定点在角106范围内后二分枚举2--6每个点x 利用叉乘可以判断向量convex[0]-P在convex[0]-convex[x]逆时针还是顺时针如果是在逆时针继续向x--6寻找顶点否则在2--x-1寻找顶点直到寻找到最接近P且在P顺时针方向的边convex[0]--convex[x]

此时可以确定点在角x-1 o x范围内

然后向量convex[x-1]-P X convex[x-1]-convex[x] 判断P是否在线段x-1--x的左侧在左侧点在多边形内否则不在

因为任意凸多边形都可以按照其中一个顶点三角剖分所以有了logN的二分高效算法

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Author : lxglbk
Date : 2012/08/17
Function : To determine whether a point is inside of a convex polygon in 2D plane
O(logN)
*********/
double cross(cpoint p0, cpoint p1, cpoint p2)
{
    return (p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y);
}
 
bool Compl_inside_convex(const cpoint & p,cpoint *con,int n)
{
    if(n<3) return false;
    if(cross(con[0],p,con[1])>-eps) return false;
    if(cross(con[0],p,con[n-1])<eps) return false;
 
    int i=2,j=n-1;
    int line=-1;
 
    while(i<=j)
    {
        int mid=(i+j)>>1;
        if(cross(con[0],p,con[mid])>-eps)
        {
            line=mid;
            j=mid-1;
        }
        else i=mid+1;
    }
    return cross(con[line-1],p,con[line])<-eps;
}