AVL树详解
AVL树
参考了：http://www.cppblog.com/cxiaojia/archive/2012/08/20/187776.html
修改了其中的错误，代码实现并亲自验证过。
平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是二叉查找树的一个进化体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树，所以它又叫AVL树。平衡二叉树要求对于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。
平衡二叉树实现的大部分过程和二叉查找树是一样的（学平衡二叉树之前一定要会二叉查找树），区别就在于插入和删除之后要写一个旋转算法去维持平衡，维持平衡需要借助一个节点高度的属性。我参考了机械工业出版社的《数据结构与算法分析-C语言描述》写了一个C++版的代码。这本书的AVLTree讲的很好，不过没有很完整的去描述。我会一步一步的讲解如何写平衡二叉树，重点是平衡二叉树的核心部分，也就是旋转算法。
第一步：节点信息
相对于二叉查找树的节点来说，我们需要用一个属性二叉树的高度，目的是维护插入和删除过程中的旋转算法。
代码如下：
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//AVL树节点信息 template<class T> class TreeNode { public: TreeNode(T x, int h = 0): val(x), lson(NULL), rson(NULL), height(h) {} T val; //值 int height; //以此节点为根的树的高度 TreeNode* lson; //指向左孩子的指针 TreeNode* rson; //指向右孩子的指针 }; |
第二步：平衡二叉树类的声明
声明中的旋转函数将在后边的步骤中详解。
代码如下：
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//AVL树类的属性和方法申明 template<class T> class AVLtree { private: TreeNode<T>* root; //根节点 void insert(TreeNode<T>* &node, T x); //插入 TreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node, T x); //查找 void deleteNode(TreeNode<T>* &node, T x); //删除 void inOrderTraversal(TreeNode<T>* root); //中序遍历 void postOrderTraversal(TreeNode<T>* root); void preOrderTraversal(TreeNode<T>* root); int GetHeight(TreeNode<T>* root); //求树的高度
void SingRotateLeft(TreeNode<T>* &n1); //左左情况下的旋转 void SingRotateRight(TreeNode<T>* &n1); //右右情况下的旋转 void DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &n1); //左右情况下的旋转 void DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &n1); //右左情况下的旋转
public: AVLtree(TreeNode<T>* ptr): root(ptr) {} void insert(T x); //插入接口 TreeNode<T>* find(T x); //查找接口 void Delete(T x); //删除接口 void traversal(); //遍历接口 }; |
第三步：一个辅助方法
旋转算法需要借助于一个功能的辅助，求树的高度。这里规定，一棵空树的高度为-1，只有一个根节点的树的高度为0，以后每多一层高度加1。为了解决指针NULL这种情况，写了一个求高度的函数，这个函数还是很有必要的。
代码如下：
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//求树的高度 template<class T> int AVLtree<T>::GetHeight(TreeNode<T>* node) { if(node != NULL) return node->height;
return -1; } |
第四步：旋转
对于一个平衡的节点，由于任意节点最多有两个儿子，因此高度不平衡时，此节点的两颗子树的高度差2.容易看出，这种不平衡出现在下面四种情况：
1、6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2，左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点，这种情况成为左左。
2、6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2，左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点，这种情况成为左右。
3、2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2，右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点，这种情况成为右左。
4、2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2，右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点，这种情况成为右右。
从图2中可以可以看出，1和4两种情况是对称的，这两种情况的旋转算法是一致的，只需要经过一次旋转就可以达到目标，我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的，这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，我们称之为双旋转。
第五步：单旋转
单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案，这两种情况是对称的，只要解决了左左这种情况，右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案，节点k2不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的左子树X子树，所以属于左左情况。
为使树恢复平衡，我们把k2变成这棵树的根节点，因为k2大于k1，把k2置于k1的右子树上，而原本在k1右子树的Y大于k1，小于k2，就把Y置于k2的左子树上，这样既满足了二叉查找树的性质，又满足了平衡二叉树的性质。
这样的操作只需要一部分指针改变，结果我们得到另外一颗二叉查找树，它是一棵AVL树，因为X向上一移动了一层，Y还停留在原来的层面上，Z向下移动了一层。整棵树的新高度和之前没有在左子树上插入的高度相同，插入操作使得X高度长高了。因此，由于这颗子树高度没有变化，所以通往根节点的路径就不需要继续旋转了。
代码如下：
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//左左情况下的旋转 template<class T> void AVLtree<T>::SingRotateLeft(TreeNode<T>* &n1) { TreeNode<T>* n2 = n1->lson; n1->lson = n2->rson; n2->rson = n1;
n1->height = max(GetHeight(n1->lson), GetHeight(n1->rson)) + 1; n2->height = max(GetHeight(n2->lson), GetHeight(n2->rson)) + 1;
n1 = n2; }
//右右情况下的旋转 template<class T> void AVLtree<T>::SingRotateRight(TreeNode<T>* &n1) { TreeNode<T>* n2 = n1->rson; n1->rson = n2->lson; n2->lson = n1;
n1->height = max(GetHeight(n1->lson), GetHeight(n1->rson)) + 1; n2->height = max(GetHeight(n2->lson), GetHeight(n2->rson)) + 1;
n1 = n2; } |
第六步：双旋转
对于左右和右左这两种情况，单旋转不能使它达到一个平衡状态，要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案，同样的，这样两种情况也是对称的，只要解决了左右这种情况，右左就很好办了。图4是左右情况的解决方案，节点k3不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的右子树k2子树，所以属于左右情况。
为使树恢复平衡，我们需要进行两步，第一步，把k1作为根，进行一次右右旋转，旋转之后就变成了左左情况，所以第二步再进行一次左左旋转，最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树树。
代码如下：
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//左右情况的旋转 template<class T> void AVLtree<T>::DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &n1) { SingRotateRight(n1->lson); SingRotateLeft(n1); }
//右左情况的旋转 template<class T> void AVLtree<T>::DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &n1) { SingRotateLeft(n1->rson); SingRotateRight(n1); } |
第七步：插入
插入的方法和二叉查找树基本一样，区别是，插入完成后需要从插入的节点开始维护一个到根节点的路径，每经过一个节点都要维持树的平衡。维持树的平衡要根据高度差的特点选择不同的旋转算法。
代码如下：
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//插入 template<class T> void AVLtree<T>::insert(TreeNode<T>* &node, T x) { if(node == NULL) //如果节点为空,就在此节点处加入x信息 { node = new TreeNode<T>(x); return; }
if(node->val > x)//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中插入x { insert(node->lson, x);
//如果高度之差为2的话就失去了平衡,需要旋转 if(2 == GetHeight(node->lson) - GetHeight(node->rson)) { if(x < node->lson->val) SingRotateLeft(node); else DoubleRotateLR(node); } } else if(node->val < x)//如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中插入x { insert(node->rson, x);
//如果高度之差为2的话就失去了平衡,需要旋转 if(2 == GetHeight(node->rson) - GetHeight(node->lson)) { if(x > node->rson->val) SingRotateRight(node); else DoubleRotateRL(node); } }
//更新节点高度 node->height = max(GetHeight(node->lson), GetHeight(node->rson)) + 1; }
template<class T> void AVLtree<T>::insert(T x) { insert(root, x); } |
第八步：查找
和二叉查找树相比，查找方法没有变法，不过根据存储的特性，AVL树能维持在一个O(logN)的稳定的时间，而二叉查找树则相当不稳定。
代码如下：
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//查找 template<class T> TreeNode<T>* AVLtree<T>::find(TreeNode<T>* node, T x) { if(node == NULL) //如果节点为空说明没找到,返回NULL return NULL;
if(x < node->val) //如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x return find(node->lson, x); else if(x > node->val) //如果x大于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x return find(node->rson, x); else //如果相等,就找到了此节点 return node; }
template<class T> TreeNode<T>* AVLtree<T>::find(T x) { return find(root, x); } |
第九步：删除
删除的方法也和二叉查找树的一致，区别是，删除完成后，需要从删除节点的父亲开始向上维护树的平衡一直到根节点。
代码如下：
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//删除 template<class T> void AVLtree<T>::deleteNode(TreeNode<T>* &node, T x) { if(node == NULL) return; //没有找到值是x的节点
if(x < node->val) { //如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中删除x deleteNode(node->lson, x); if(2 == GetHeight(node->rson) - GetHeight(node->lson)) { if(node->rson->lson && GetHeight(node->rson->lson) > GetHeight(node->rson->rson)) DoubleRotateRL(node); else SingRotateRight(node); } } else if(x > node->val) { //如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中删除x deleteNode(node->rson, x); if(2 == GetHeight(node->lson) > GetHeight(node->rson)) { if(node->lson->rson && GetHeight(node->lson->rson) > GetHeight(node->lson->lson)) DoubleRotateLR(node); else SingRotateLeft(node); } } else //如果相等,此节点就是要删除的节点 { if(node->lson && node->rson) //此节点有两个儿子 { TreeNode<T>* ptr = node->rson; //ptr指向节点的右儿子
while(ptr->lson != NULL) ptr = ptr->lson;//找到右子树中值最小的节点 //把右子树中最小节点的值赋值给本节点 node->val = ptr->val; //删除右子树中最小值的节点 deleteNode(node->rson, ptr->val); if(2 == GetHeight(node->lson) - GetHeight(node->rson)) { if(node->lson->rson && GetHeight(node->lson->rson) > GetHeight(node->lson->lson)) DoubleRotateLR(node); else SingRotateLeft(node); } } else { TreeNode<T>* ptr = node; //此节点有1个或0个儿子 if(node->lson == NULL) //有右儿子或者没有儿子 node = node->rson; else if(node->rson == NULL) //有左儿子 node = node->lson; delete ptr; ptr = NULL; } }
if(node) node->height = max(GetHeight(node->lson), GetHeight(node->rson)) + 1; }
template<class T> void AVLtree<T>::Delete(T x) { deleteNode(root, x); } |
第十步：遍历
代码如下：
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template<class T> void AVLtree<T>::preOrderTraversal(TreeNode<T>* root) { if(root) { cout << root->val << "(" << root->height << ") "; preOrderTraversal(root->lson); preOrderTraversal(root->rson); } }
template<class T> void AVLtree<T>::inOrderTraversal(TreeNode<T>* root) { stack<TreeNode<T> *> S;
while(true) { if(root) { S.push(root); root = root->lson; } else { if(S.empty()) break; root = S.top(); cout << root->val << " "; S.pop(); root = root->rson; } } }
template<class T> void AVLtree<T>::postOrderTraversal(TreeNode<T>* root) { stack<TreeNode<T>* > S; TreeNode<T> *pre = NULL, *ptr = NULL; if(root) S.push(root);
while(!S.empty()) { ptr = S.top(); if(ptr->lson && ptr->lson != pre && !(ptr->rson && ptr->rson == pre)) S.push(ptr->lson); else if(ptr->rson && ptr->rson != pre) S.push(ptr->rson); else { cout << ptr->val << " "; S.pop(); pre = ptr; } } }
template<class T> void AVLtree<T>::traversal() { inOrderTraversal(root); cout << endl; postOrderTraversal(root); cout << endl; preOrderTraversal(root); cout << endl; } |
第十一步：关于效率
此数据结构插入、查找和删除的时间复杂度均为O(logN)，但是插入和删除需要额外的旋转算法需要的时间，有时旋转过多也会影响效率。
关于递归和非递归。我用的是递归的方法进行插入，查找和删除，而非递归的方法一般来说要比递归的方法快很多，但是我感觉非递归的方法写出来会比较困难，所以我还是选择了递归的方法。
还有一种效率的问题是关于高度信息的存储，由于我们需要的仅仅是高度的差，不需要知道这棵树的高度，所以只需要使用两个二进制位就可以表示这个差。这样可以避免平衡因子的重复计算，可以稍微的加快一些速度，不过代码也丧失了相对简明性和清晰度。如果采用递归写法的话，这种微加速就更显得微乎其微了。
完整代码：
#include <iostream> #include <stack> #include <algorithm> using namespace std; //AVL树节点信息 template<class T> class TreeNode { public: TreeNode(T x, int h = 0): val(x), lson(NULL), rson(NULL), height(h) {} T val; //值 int height; //以此节点为根的树的高度 TreeNode* lson; //指向左孩子的指针 TreeNode* rson; //指向右孩子的指针 }; //AVL树类的属性和方法申明 template<class T> class AVLtree { private: TreeNode<T>* root; //根节点 void insert(TreeNode<T>* &node, T x); //插入 TreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node, T x); //查找 void deleteNode(TreeNode<T>* &node, T x); //删除 void inOrderTraversal(TreeNode<T>* root); //中序遍历 void postOrderTraversal(TreeNode<T>* root); void preOrderTraversal(TreeNode<T>* root); int GetHeight(TreeNode<T>* root); //求树的高度 void SingRotateLeft(TreeNode<T>* &n1); //左左情况下的旋转 void SingRotateRight(TreeNode<T>* &n1); //右右情况下的旋转 void DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &n1); //左右情况下的旋转 void DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &n1); //右左情况下的旋转 public: AVLtree(TreeNode<T>* ptr): root(ptr) {} void insert(T x); //插入接口 TreeNode<T>* find(T x); //查找接口 void Delete(T x); //删除接口 void traversal(); //遍历接口 }; //求树的高度 template<class T> int AVLtree<T>::GetHeight(TreeNode<T>* node) { if(node != NULL) return node->height; return -1; } //左左情况下的旋转 template<class T> void AVLtree<T>::SingRotateLeft(TreeNode<T>* &n1) { TreeNode<T>* n2 = n1->lson; n1->lson = n2->rson; n2->rson = n1; n1->height = max(GetHeight(n1->lson), GetHeight(n1->rson)) + 1; n2->height = max(GetHeight(n2->lson), GetHeight(n2->rson)) + 1; n1 = n2; } //右右情况下的旋转 template<class T> void AVLtree<T>::SingRotateRight(TreeNode<T>* &n1) { TreeNode<T>* n2 = n1->rson; n1->rson = n2->lson; n2->lson = n1; n1->height = max(GetHeight(n1->lson), GetHeight(n1->rson)) + 1; n2->height = max(GetHeight(n2->lson), GetHeight(n2->rson)) + 1; n1 = n2; } //左右情况的旋转 template<class T> void AVLtree<T>::DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &n1) { SingRotateRight(n1->lson); SingRotateLeft(n1); } //右左情况的旋转 template<class T> void AVLtree<T>::DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &n1) { SingRotateLeft(n1->rson); SingRotateRight(n1); } //插入 template<class T> void AVLtree<T>::insert(TreeNode<T>* &node, T x) { if(node == NULL) //如果节点为空,就在此节点处加入x信息 { node = new TreeNode<T>(x); return; } if(node->val > x)//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中插入x { insert(node->lson, x); //如果高度之差为2的话就失去了平衡,需要旋转 if(2 == GetHeight(node->lson) - GetHeight(node->rson)) { if(x < node->lson->val) SingRotateLeft(node); else DoubleRotateLR(node); } } else if(node->val < x)//如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中插入x { insert(node->rson, x); //如果高度之差为2的话就失去了平衡,需要旋转 if(2 == GetHeight(node->rson) - GetHeight(node->lson)) { if(x > node->rson->val) SingRotateRight(node); else DoubleRotateRL(node); } } //更新节点高度 node->height = max(GetHeight(node->lson), GetHeight(node->rson)) + 1; } template<class T> void AVLtree<T>::insert(T x) { insert(root, x); } template<class T> void AVLtree<T>::preOrderTraversal(TreeNode<T>* root) { if(root) { cout << root->val << "(" << root->height << ") "; preOrderTraversal(root->lson); preOrderTraversal(root->rson); } } template<class T> void AVLtree<T>::inOrderTraversal(TreeNode<T>* root) { stack<TreeNode<T> *> S; while(true) { if(root) { S.push(root); root = root->lson; } else { if(S.empty()) break; root = S.top(); cout << root->val << " "; S.pop(); root = root->rson; } } } template<class T> void AVLtree<T>::postOrderTraversal(TreeNode<T>* root) { stack<TreeNode<T>* > S; TreeNode<T> *pre = NULL, *ptr = NULL; if(root) S.push(root); while(!S.empty()) { ptr = S.top(); if(ptr->lson && ptr->lson != pre && !(ptr->rson && ptr->rson == pre)) S.push(ptr->lson); else if(ptr->rson && ptr->rson != pre) S.push(ptr->rson); else { cout << ptr->val << " "; S.pop(); pre = ptr; } } } template<class T> void AVLtree<T>::traversal() { inOrderTraversal(root); cout << endl; postOrderTraversal(root); cout << endl; preOrderTraversal(root); cout << endl; } //查找 template<class T> TreeNode<T>* AVLtree<T>::find(TreeNode<T>* node, T x) { if(node == NULL) //如果节点为空说明没找到,返回NULL return NULL; if(x < node->val) //如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x return find(node->lson, x); else if(x > node->val) //如果x大于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x return find(node->rson, x); else //如果相等,就找到了此节点 return node; } template<class T> TreeNode<T>* AVLtree<T>::find(T x) { return find(root, x); } //删除 template<class T> void AVLtree<T>::deleteNode(TreeNode<T>* &node, T x) { if(node == NULL) return; //没有找到值是x的节点 if(x < node->val) { //如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中删除x deleteNode(node->lson, x); if(2 == GetHeight(node->rson) - GetHeight(node->lson)) { if(node->rson->lson && GetHeight(node->rson->lson) > GetHeight(node->rson->rson)) DoubleRotateRL(node); else SingRotateRight(node); } } else if(x > node->val) { //如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中删除x deleteNode(node->rson, x); if(2 == GetHeight(node->lson) > GetHeight(node->rson)) { if(node->lson->rson && GetHeight(node->lson->rson) > GetHeight(node->lson->lson)) DoubleRotateLR(node); else SingRotateLeft(node); } } else //如果相等,此节点就是要删除的节点 { if(node->lson && node->rson) //此节点有两个儿子 { TreeNode<T>* ptr = node->rson; //ptr指向节点的右儿子 while(ptr->lson != NULL) ptr = ptr->lson;//找到右子树中值最小的节点 //把右子树中最小节点的值赋值给本节点 node->val = ptr->val; //删除右子树中最小值的节点 deleteNode(node->rson, ptr->val); if(2 == GetHeight(node->lson) - GetHeight(node->rson)) { if(node->lson->rson && GetHeight(node->lson->rson) > GetHeight(node->lson->lson)) DoubleRotateLR(node); else SingRotateLeft(node); } } else { TreeNode<T>* ptr = node; //此节点有1个或0个儿子 if(node->lson == NULL) //有右儿子或者没有儿子 node = node->rson; else if(node->rson == NULL) //有左儿子 node = node->lson; delete ptr; ptr = NULL; } } if(node) node->height = max(GetHeight(node->lson), GetHeight(node->rson)) + 1; } template<class T> void AVLtree<T>::Delete(T x) { deleteNode(root, x); } TreeNode<int>* create1() { TreeNode<int> *a = new TreeNode<int>(6, 2); TreeNode<int> *b = new TreeNode<int>(3, 1); TreeNode<int> *c = new TreeNode<int>(7); TreeNode<int> *d = new TreeNode<int>(1); TreeNode<int> *e = new TreeNode<int>(4); a->lson = b; a->rson = c; b->lson = d; b->rson = e; return a; } TreeNode<int>* create2() { TreeNode<int> *a = new TreeNode<int>(6, 2); TreeNode<int> *b = new TreeNode<int>(2, 1); TreeNode<int> *c = new TreeNode<int>(7); TreeNode<int> *d = new TreeNode<int>(1); TreeNode<int> *e = new TreeNode<int>(4); a->lson = b; a->rson = c; b->lson = d; b->rson = e; return a; } int main() { TreeNode<int>* root = create2(); AVLtree<int> avl(root); avl.traversal(); avl.insert(3); TreeNode<int>* node = avl.find(2); if(node) cout << "find : " << node->val << " height = " << node->height << endl; avl.traversal(); avl.Delete(2); avl.traversal(); avl.Delete(4); avl.traversal(); avl.Delete(6); avl.traversal(); return 0; }
