欧拉筛（线性筛）

在素数筛法当中，首先先讲一下朴素的筛法和埃氏筛。

朴素筛法：对于任何一个数$i$，我们从2到$sqrt(i)$挨个枚举看是不是i都无法整除这些数，如果是的话那么就说明$i$是素数，反之则不是
埃氏筛：我们发现，在朴素筛法当中我们希望枚举每个数的因子，也就是说，当我们判断4是不是素数，我们枚举了2，判断6是不是素数，又枚举了2，那我们可不可以在判断2是不是素数的时候，发现2是素数，就直接把它的倍数都筛掉。这就是埃氏筛。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,tot;
int Prime[100010];
bool vis[1000010];

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 2;i <= n;i++) {
        if(!vis[i]) {
            Prime[++tot] = i;
            for(int j = 2;j * i <= n;j++)
                vis[j * i] = true;
        }
    }
    for(int i = 1;i <= tot;i++)
        cout << Prime[i] << " ";

    return 0;
}

欧拉筛：尽管埃氏筛貌似已经非常优秀了，但是我们仍然发现它也并不是那么令人满意，因为，以18这个数为例，我们在枚举到6的时候用6和素数3把18筛掉，枚举到9的时候又用9和素数2把18筛掉。这样就造成了冗余的操作从而浪费了时间。保证一个数一定只被筛掉一遍，这就是欧拉筛的核心思想，一个数如果不是素数，那么一定只被它的最小的素数因子筛掉。同样地以18为例，$2\times 9=18$，$3\times 6=18$，那么我们就在枚举到9的时候用$9\times 2$来筛掉18。那么问题是，怎么样保证只用素数2来筛掉18.这里给出一个感性证明，当我们枚举到6的时候，第二层循环枚举素数枚举到2，用6×2筛掉12后，发现6能被2整除，此时我们就应该break掉不再枚举2以后的素数，因为当前这个数（即6）一定可以拆成当前素数2乘上另外一个数，那么2以后的素数，也就是3，5等，我们发现$6\times 3$可以拆成$2\times 3\times 3$，也就是$2\times 9$，$6\times 5$可以拆成$2\times 3\times 5$，也就是$2\times 15$，那么我么完全可以在枚举到数9和15的时候再把18、30筛掉而不必现在就筛。而2一定比后面的这些素数小（因为它先被枚举到），那么就可以放心的break掉了，这就保证了一个数一定只被它最小的质因子筛掉而又不会漏筛。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,tot;
int Prime[100010];
bool vis[1000010];

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 2;i <= n;i++) {
        if(!vis[i]) Prime[++tot] = i;
        for(int j = 1;j <= tot && i * Prime[j] <= n;j++) {
            vis[i * Prime[j]] = true;
            if(i % Prime[j] == 0) break;
        }
    }
    for(int i = 1;i <= tot;i++)
        cout << Prime[i] << " ";

    return 0;
}