［DP］一道动态规划——理想收入问题

上午在图书管从吴文虎教授的那本ACM／ICPC高级教程上看了一道题，虽说不上经典，但其中的思想还是可以借鉴的。

题意：以一元为本金，能获得的最大收入，第i天股票价格为v[i],1<=i<=m

思路：

　　(1)DP思路明显，直接进行动态规划，令f[i]代表第i天所获得的最大收入.那么有公式：

　　　　f[i] = max{f[i-1],f[j]*v[i]/v[j]} (1<=j<i)

其中f[i-1]代表不在第i天卖掉股票,f[j]*v[i]/v[j]代表从第j天买进，第i天卖出的情况，显然，以上情况便包括了所有的情形。分析可知，此算法的时间复杂度为O(n*n),空间复杂度为O(n).

　　(2)经过分析可以发现，公式f[j]*v[i]/v[j]中对于确定的i，v[i]是不变的，所以我们只需要找到f[j]/v[j]的最大值即可，进而可以发现，对于每次i循环，找到最大的f[j]/v[j]仅仅需要O(1)的复杂度，为什么呢？因为j的范围是[1,i-1]，而f[j]/v[j]是不变的，所以每次循环结束我们只需要记录下f[j]/v[j] (1<= j < i)的最大值即可，这样我们便消除了j的循环操作，时间复杂度降为O(n),又因为可以边输入，边处理，所以空间复杂度降为O(1).

总结：

　　至此，此题通过分析，时间复杂度降为O(n),空间复杂度降为O(1),问题得到比较好的解决，不仅是本题，很多DP问题通过分析，我们都可以利用一些变量的关系来简化公式，或者降低时空复杂度，有时候转化一下思想也能达到同样效果，这就要就我们对一个问题做比较深入的分析，多思考，多总结，打破常规，才能得到进步！