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argmin ，argmax函数

在数学中，ARG MAX（或ARGMAX）代表最大值，即给定参数的点集，给定表达式的值达到其最大值：

$\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) := \{x\ |\ \forall y : f(y) \le f(x)\}$

换一种说法，

$\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x)$

是f（x）具有最大值M的x的值的集合。例如，如果f（x）是1- | x |，那么它在x = 0时达到其最大值1并且仅在那里，所以 $\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, (1-|x|) = \{0\}$ . $\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, (1-|x|) = \{0\}$ .

等价地，如果M是f的最大值，那么arg max是最大值的水平集

$\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) = f^{-1}(M) = \{x\ |\ f(x) = M \}$

如果最大值达到一个值，那么一个将该点称为arg max，这意味着我们将arg max定义为一个点，而不是一组点。所以，例如

$\underset{x\in \Bbb{R}}{\operatorname{arg\,max}} (x(10-x)) = 5$

（而不是单独集合{5}），因为x（10-x）的最大值是25，这在x = 5时发生。但是，如果在许多值处达到最大值，则arg max是一组点。然后，我们举例说

$\underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{arg\,max}} \, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}$

因为cos（x）的最大值是1，当x =0,2π或4π时，这个间隔发生。在整个实线上，arg max是 $\{0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, \dots \}.$

arg min（或argmin）被类似地定义.

还要注意函数通常不会达到最大值，因此通常不会有arg max: $\underset{x\in \Bbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x$ 没有定义，因为x在实线上是无界的。然而，通过极值定理（或经典致密性理论），紧凑区间上的连续函数具有最大值，因此arg max。