poj1061 青蛙的约会 扩展欧几里得

中文题

思路: 扩展欧几里得

扩展欧几里得

• 给定整数a 和 b, 且满足 a*x1 + b*y1 = gcd(a, b), 求解x, y.
• 当 b == 0 的时候, gcd(a, b) = a. 此时x = 1, y = 0.
• 当a*b != 0的时候, 推理: 根据欧几里得可知, gcd(a, b) = gcd(b, a%b). 那么 a*x1 + b*y1 = b*x2 + a%b*y2

　　　化解上式得到 b*x2 + (a - (a/b)*b)*y2 = a*y2 + b*x2 - (a/b)*b*y2.

　　　而根据恒等定理可知: x1 = y2, y1 = x2 - a/b*y2 ,由此我们可以知道求得x1, x2 的结果是基于x2, y2 而得到的, 因此我们只需要不断的递归下去,即:

　　　gcd(a, b) =gcd(b, a%b)=gcd(a%b, b%(a%b)) 直到b == 0 返回x2, y2 的结果, 通过恒等定理求得x1, y1.

• 对于方程a*x1 + b*y1 = c , 我们可以根据上面求得的方程 a*x1 + b*y1 = gcd(a, b)转换得到(设d = gcd(a, b)).
• a*x1 + b*y1 = d 转换得到: a(x1*c/d) + b(y1*c/d) = c.
• 因此方程的解为x = x1*c/d, y = y1*c/d.

构建方程:

 (x + m* t) % L = (y + n*t) % L

转换得到:

x + m*t = y + n*t + w*L;
 (n - m)*t + w*L = x - y;
 即扩展欧几里得:a*x + b*t = c

#include <iostream>
using namespace std;

long long extended_gcd(long long a, long long b, long long  &x, long long  &y)
{
    long long ret , tmp;
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ret = extended_gcd(b, a%b, x, y);
    tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a /b *y;
    return ret;
}

int main()
{
    long long x, y, d, X, Y, n, m, L;
    /*
    x + m*t = y + n*t + w*L;
    (n - m)*t + w*L = x - y; 
    扩展欧几里得:a*x + b*t = b
    */
    while (cin>>x>>y>>m>>n>>L)
    {
        d = extended_gcd(n-m, L, X, Y);
        if ((x - y) % d != 0)
            cout<<"Impossible"<<endl;
        else
            cout<<((x - y) / d * X % L + L) % L<<endl;
    }

    
}