POJ 3974 Palindrome 回文数 Manacher算法

 

原文地址 http://www.2cto.com/kf/201210/164253.html  

该题就是求一个字符串的最长回文子串，就是一个满足本身是回文的最长的子串。
该题貌似可以用后缀数组和扩展kmp做，但是好像后缀数组貌似会tle，改学了下
一个专门的叫Manacher算法的东西。。。
     该算法说起来也不是太复杂，比较容易看懂的那种，当然是接触过其它字符串算法
的前提下了。记得以前就看了看，硬是没看懂，想不到现在这么快就明白了。
   该算法需要额外的O(N)空间。说起来是空间换时间吧。
   大概的思路是先预处理字符串，使其成为一个长度一定为偶数的串。而且第一个字符
是'$'，假设'$'没有在原串出现过。然后再在原来的每个字符前面加上'#'，最后再加个
'#'。比如，abc就变成了$#a#b#c#。现在再对新的字符串进行处理。
   开一个新的数组nRad[MAX]，nRad[i]表示新串中第i个位置向左边和向右边同时扩展
并且保持对称的最大距离。如果求出了nRad数组后，有一个结论，nRad[i]-1恰好表示原串
对应的位置能够扩展的回文子串长度。这个的证明，应该比较简单，因为新串基本上是原串
的2倍了，而且新串每一个有效字符两侧都有插入的#，这个找个例子看下就知道是这样了。
   最重要的是如何求出nRad数组。
   求这个数组的算法也主要是利用了一些间接的结论优化了nRad[i]的初始化值。比如我们求
nRad[i]的时候，如果知道了i以前的nRad值，而且知道了前面有一个位置id，能够最大的向
两边扩展距离max。那么有一个结论，nRad[i] 能够初始化为min(nRad[2*id - i], max - i)，
然后再进行递增。关键是如何证明这个，这个的证明，对照图片就很清楚了。
   证明如下：
   当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，
以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。
   
  
   当 P[j] > mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于
对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会
扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。
  

 

 

11018437

NY_lv10

3974

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204MS

C++

893B

2012-11-15 21:18:35

 

 #include <stdio.h>
 #include <memory>
 
 const int MAX = 1000008;
 char instr[MAX], str[MAX<<1];
 int nRad[MAX<<1];    //点i 的对称半径
 
 int maxRad;
 
 int Mmin(int a, int b)
 {
     return a > b ? b : a;
 }
 
 void Manacher()
 {
     int i, j, maxx;    //maxx 为匹配过的最大长度
     int n = strlen(instr);
     memset(str, '#', sizeof(str));
     for (i=0; i<n; i++)
     {
         str[(i+1)<<1] = instr[i];
     }
     n = (n+1)<<1;
     str[n] = '$';
     
     maxRad = j = maxx = 0;    
     for (i=0; i<n; i++)
     {
         if (i < maxx)
         {
             //（maxx - i) 与 (2*j - i) 是以j为对称点.
             //由于j之前的都是已经匹配过的了, 那么在以j为对称范围内,j的左边和右边都是对称的,那么j左边已经匹配过的点(2*j-i)和j右边的点i
             //必有nRad[i] = nRad[2*j-i] 但是在nRad[2*j-i]中有可能超过j的匹配范围.
             nRad[i] = Mmin(nRad[2*j - i] , maxx-i);
         }
         else nRad[i] = 1;
         
         while (str[i - nRad[i]] == str[i + nRad[i]])
         {
             nRad[i]++;
         }
 
         if (maxRad < nRad[i])
         {
             maxRad = nRad[i];
         }
 
         if (nRad[i] + i > maxx)    
         {
             j = i; 
             maxx = nRad[i] + i;
         }
     }
 }
 
 
 int main()
 {
     int t=1;
     while (scanf("%s", &instr) !=EOF && instr[0] != 'E')
     {
         Manacher();
         printf("Case %d: %d\n", t++, maxRad-1);
     }
 }