20241013 洛谷SCP模拟

20241013 洛谷SCP模拟

J1. 带余除法

急眼了，J 组 T1 做不出来。经 cyq 大神指点。

考虑将题中给出的带余除法转化：$n=kq+r$，移项得到 $r=n-kq$。

这里 $n,k$ 都是定值，于是对于每一个 $q$，都有唯一的一个 $r$ 与之对应。考虑余数的性质：

$$0\le r=n-kq<q$$

解不等式得到 $\lfloor \frac{n}{k+1}\rfloor <q\le \lfloor \frac{n}{k}\rfloor$。容易发现这个范围内的所有整数都可以取到，于是答案为 $\lfloor \frac{n}{k}\rfloor -\lfloor \frac{n}{k+1}\rfloor$。

J2. 奖牌排序

急眼了，J 组 T2 做不出来。经 cyq 大神指点。

对于每个人，有三种排序方式取最优。

那么对某种方式考虑，我们先对这一维排序，接着对每个人更新答案。考虑每个人在这种方式下的最高排名怎么算，发现其实就是这一维比他小的人的个数加一，于是可以二分求解。

J4. 配对序列

cyq 大神说这题代码很简单并且是 $O(n)$ 的，可是我只会无脑数据结构，破防。

考虑一个朴素的 dp。设 $f_{i,0/1}$ 表示选第 $i$ 个位置，且这个位置是相邻数对中的第 $1/2$ 个数，最长序列的长度。转移枚举上一个选的位置 $j$，那么若 $a_j=a_i$，则 $f_{j,0}$ 可以转移到 $f_{i,1}$；否则 $f_{j,1}$ 可以转移到 $f_{i,0}$。

对于第一种转移，我们记录 $g_i$ 表示所有满足 $a_j=i$ 的 $j$ 中，$f_{j,0}$ 的最大值，这样就能 $O(1)$ 转移了。对于第二种转移，我们开一颗权值线段树，记录 $f_{j,1}$ 的最大值，转移时只要查询区间 $[1,a_i)$ 和 $(a_i,V]$ 即可。$O(n\log V)$。

这题 $n,V$ 同阶，$V$ 开大时加个离散化就行了。所以时间复杂度是 $O(n\log n)$ 的。

S1. 商店砍价

这题绝对比 J 组 T1T2 都简单。

注意到 $v$ 只有 ${10}^5$，那么容易看出，第二种操作进行时，剩余数的位数一定不超过 $5$。于是容易想到枚举进行第二种操作时的 $n$ 并计算贡献，注意这里枚举的数一定是原数的子序列，子序列自动机判一下即可。

cyq 大神说我绝对是非正解。又被 D 了。