20241103 训练记录

杂题选讲

Omkar and Landslide

可以发现，我们把一轮操作分解成对每个位置的单个操作，那么这些单个操作的顺序是可以随意调换的。由于最后一定会操作到不能继续操作为止，这样一轮一轮的操作就可以等价为：顺序操作 \(1\) 到 \(n\) 的每个位置，若这个点能向前滑坡，就一直滑到不能滑为止。

那么从这样的操作方式中，我们可以发现一个结论：一定只存在不超过 \(1\) 个 \(i\)，使得最终数组中 \(h_i=h_{i+1}\)。

具体证明参见这篇题解。大概意思就是说对 \(1\) 到 \(n\) 一次进行上述操作时，若前面没有相同位置，则至多出现一个相同位置；若前面有相同位置，则会减少一个相同位置或不变，于是最终的相同位置至多 \(1\) 个。

有了这个结论之后，我们先假设不存在相同位置，设第一个位置的最终值为 \(x\)，因为最后的数组是一个等差数列，和就为 \(\cfrac{n(2x+n-1)}{2}\)。设原数列的和为 \(s\)，则前面的式子就等于 \(s\)，于是可以直接解出 \(x\) 的值。

再考虑有一个相同位置 \(p\) 的情况，那么此时 \(\cfrac{n(2x+n-1)}{2}-p=s\)。那么先对第一种情况解出的 \(x\) 取上整，这样得到的也是第一个位置的值。所以 \(p=\cfrac{n(2x+n-1)}{2}-s\)，那么将等差数列的后 \(p\) 个位置减去 \(1\) 即可得到答案。